Theorem iblempty 40181

Description: The empty function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iblempty	⊢ ∅ ∈ 𝐿1

Proof of Theorem iblempty

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbf0 40173	. 2 ⊢ ∅ ∈ MblFn
2		fconstmpt 5163	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
3	2	eqcomi 2631	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) = (ℝ × {0})
4	3	fveq2i 6194	. . . . 5 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) = (∫2‘(ℝ × {0}))
5		itg20 23504	. . . . 5 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
6	4, 5	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) = 0
7		0re 10040	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltri 2697	. . 3 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ
9	8	rgenw 2924	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ
10		noel 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
11	10	intnanr 961	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
12	11	iffalsei 4096	. . . . . . 7 ⊢ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = 0
13	12	eqcomi 2631	. . . . . 6 ⊢ 0 = if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 = if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))
15	14	mpteq2dva 4744	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))
16		eqidd 2623	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
17		dm0 5339	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → dom ∅ = ∅)
19	10	intnan 960	. . . . 5 ⊢ ¬ (⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅)
20	19	pm2.21i 116	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → (∅‘𝑥) = 0)
21	15, 16, 18, 20	isibl 23532	. . 3 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ 𝐿1 ↔ (∅ ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ)))
22	21	trud 1493	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐿1 ↔ (∅ ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ))
23	1, 9, 22	mpbir2an 955	1 ⊢ ∅ ∈ 𝐿1

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∅c0 3915  ifcif 4086  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  ici 9938   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  3c3 11071  ...cfz 12326  ↑cexp 12860  ℜcre 13837  MblFncmbf 23383  ∫₂citg2 23385  𝐿¹cibl 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itgvol0  40184