Theorem ioombl1lem2 23327

Description: Lemma for ioombl1 23330. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioombl1.b	⊢ 𝐵 = (𝐴(,)+∞)
ioombl1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ioombl1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ℝ)
ioombl1.v	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
ioombl1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ioombl1.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ioombl1.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
ioombl1.u	⊢ 𝑈 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))
ioombl1.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
ioombl1.f2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))
ioombl1.f3	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
ioombl1.p	⊢ 𝑃 = (1st ‘(𝐹‘𝑛))
ioombl1.q	⊢ 𝑄 = (2nd ‘(𝐹‘𝑛))
ioombl1.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨if(if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄), 𝑄⟩)
ioombl1.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨𝑃, if(if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄)⟩)

Assertion

Ref	Expression
ioombl1lem2	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem ioombl1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl1.f1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
3		ioombl1.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
4	2, 3	ovolsf 23241	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
6		frn 6053	. . . . 5 ⊢ (𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran 𝑆 ⊆ (0[,)+∞))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (0[,)+∞))
8		icossxr 12258	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
9	7, 8	syl6ss 3615	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ*)
10		supxrcl 12145	. . 3 ⊢ (ran 𝑆 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12		ioombl1.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
13		ioombl1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
14	13	rpred 11872	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 10069	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
16		mnfxr 10096	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
18		ffn 6045	. . . . . 6 ⊢ (𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) → 𝑆 Fn ℕ)
19	5, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn ℕ)
20		1nn 11031	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
21		fnfvelrn 6356	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
22	19, 20, 21	sylancl 694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
23	9, 22	sseldd 3604	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ*)
24		rge0ssre 12280	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25		ffvelrn 6357	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
26	5, 20, 25	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
27	24, 26	sseldi 3601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ)
28		mnflt 11957	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘1) ∈ ℝ → -∞ < (𝑆‘1))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑆‘1))
30		supxrub 12154	. . . 4 ⊢ ((ran 𝑆 ⊆ ℝ* ∧ (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆) → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
31	9, 22, 30	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
32	17, 23, 11, 29, 31	xrltletrd 11992	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
33		ioombl1.f3	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
34		xrre 12000	. 2 ⊢ (((sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
35	11, 15, 32, 33, 34	syl22anc 1327	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ifcif 4086  ⟨cop 4183  ∪ cuni 4436   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ran crn 5115   ∘ ccom 5118   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1^st c1st 7166  2^nd c2nd 7167  supcsup 8346  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175  [,)cico 12177  seqcseq 12801  abscabs 13974  vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  23329