Theorem supxrub 12154

Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrub

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 11974	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 12139	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supub 8365	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
5	4	imp 445	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
6		ssel2 3598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7		supxrcl 12145	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9		xrlenlt 10103	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
10	6, 8, 9	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
11	5, 10	mpbird 247	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   Or wor 5034  supcsup 8346  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  supxrre  12157  supxrss  12162  ixxub  12196  prdsdsf  22172  prdsxmetlem  22173  xpsdsval  22186  prdsbl  22296  xrge0tsms  22637  bndth  22757  ovolmge0  23245  ovollb2lem  23256  ovolunlem1a  23264  ovoliunlem1  23270  ovoliun  23273  ovolicc2lem4  23288  ioombl1lem2  23327  ioombl1lem4  23329  uniioombllem2  23351  uniioombllem3  23353  uniioombllem6  23356  vitalilem4  23380  itg2ub  23500  itg2seq  23509  itg2monolem1  23517  itg2monolem2  23518  itg2monolem3  23519  aannenlem2  24084  radcnvcl  24171  radcnvle  24174  nmooge0  27622  nmoolb  27626  nmlno0lem  27648  nmoplb  28766  nmfnlb  28783  nmlnop0iALT  28854  xrofsup  29533  xrge0tsmsd  29785  itg2addnc  33464  rrnequiv  33634  supxrubd  39297  supxrgere  39549  supxrgelem  39553  suplesup2  39592  ressiocsup  39781  ressioosup  39782  liminfval2  40000  etransclem48  40499  fsumlesge0  40594  sge0cl  40598  sge0supre  40606  sge0xaddlem1  40650  sge0xaddlem2  40651