Theorem 1nn 11031

Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1nn	⊢ 1 ∈ ℕ

Proof of Theorem 1nn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 10035	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2		fr0g 7531	. . . 4 ⊢ (1 ∈ V → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1
4		frfnom 7530	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω
5		peano1 7085	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
6		fnfvelrn 6356	. . . 4 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
7	4, 5, 6	mp2an 708	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
8	3, 7	eqeltrri 2698	. 2 ⊢ 1 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
9		df-nn 11021	. . 3 ⊢ ℕ = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω)
10		df-ima 5127	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
11	9, 10	eqtri 2644	. 2 ⊢ ℕ = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
12	8, 11	eleqtrri 2700	1 ⊢ 1 ∈ ℕ

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915   ↦ cmpt 4729  ran crn 5115   ↾ cres 5116   “ cima 5117   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ωcom 7065  reccrdg 7505  1c1 9937   + caddc 9939  ℕcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-1cn 9994

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  dfnn2  11033  dfnn3  11034  nnind  11038  nn1suc  11041  2nn  11185  nnunb  11288  1nn0  11308  nn0p1nn  11332  elz2  11394  1z  11407  neg1z  11413  nneo  11461  9p1e10  11496  elnn1uz2  11765  zq  11794  rpnnen1lem4  11817  rpnnen1lem5  11818  rpnnen1lem4OLD  11823  rpnnen1lem5OLD  11824  ser1const  12857  exp1  12866  nnexpcl  12873  expnbnd  12993  3dec  13050  fac1  13064  faccl  13070  faclbnd3  13079  faclbnd4lem1  13080  faclbnd4lem2  13081  faclbnd4lem3  13082  faclbnd4lem4  13083  lsw0  13352  eqs1  13392  ccat2s1p1  13405  cats1un  13475  revs1  13514  cats1fvn  13603  relexpsucnnl  13772  relexpaddg  13793  isercolllem2  14396  isercolllem3  14397  isercoll  14398  sumsnf  14473  sumsn  14475  climcndslem1  14581  climcndslem2  14582  fprodnncl  14685  prodsn  14692  prodsnf  14694  nnrisefaccl  14750  eftlub  14839  eirrlem  14932  rpnnen2lem5  14947  rpnnen2lem8  14950  rpnnen2lem12  14954  dvdsle  15032  n2dvds1  15104  ndvdsp1  15135  gcd1  15249  bezoutr1  15282  1nprm  15392  1idssfct  15393  isprm2lem  15394  qden1elz  15465  phi1  15478  phiprm  15482  pcpre1  15547  pczpre  15552  pcmptcl  15595  pcmpt  15596  infpnlem2  15615  prmreclem1  15620  prmreclem6  15625  mul4sq  15658  vdwmc2  15683  vdwlem8  15692  vdwlem13  15697  vdwnnlem3  15701  prmocl  15738  prmop1  15742  fvprmselelfz  15748  fvprmselgcd1  15749  prmolefac  15750  prmodvdslcmf  15751  prmgapprmo  15766  5prm  15815  7prm  15817  11prm  15822  13prm  15823  17prm  15824  19prm  15825  37prm  15828  43prm  15829  83prm  15830  139prm  15831  163prm  15832  317prm  15833  631prm  15834  1259lem4  15841  1259lem5  15842  1259prm  15843  2503lem3  15846  2503prm  15847  4001lem1  15848  4001lem2  15849  4001lem3  15850  4001lem4  15851  4001prm  15852  baseid  15919  basendx  15923  basendxnn  15924  ressval3d  15937  1strstr  15979  2strstr  15983  basendxnplusgndx  15989  basendxnmulrndx  15999  rngstr  16000  lmodstr  16017  topgrpstr  16042  otpsstr  16051  otpsstrOLD  16055  ocndx  16060  ocid  16061  ressds  16073  resshom  16078  ressco  16079  slotsbhcdif  16080  oppcbas  16378  rescbas  16489  rescabs  16493  catstr  16617  estrreslem1  16777  ipostr  17153  mulg1  17548  mulg2  17550  oppgbas  17781  od1  17976  gex1  18006  efgsval2  18146  efgsp1  18150  torsubg  18257  pgpfaclem1  18480  mgpbas  18495  mgpds  18499  opprbas  18629  rmodislmod  18931  srabase  19178  srads  19186  opsrbas  19479  cnfldfun  19758  zlmbas  19866  znbas2  19888  thlbas  20040  thlle  20041  pmatcollpw3fi1lem2  20592  hauspwdom  21304  ressunif  22066  tuslem  22071  imasdsf1olem  22178  setsmsds  22281  tmslem  22287  tnglem  22444  tngbas  22445  tngds  22452  cphipval  23042  bcthlem4  23124  bcth3  23128  ovolmge0  23245  ovollb2  23257  ovolctb  23258  ovolunlem1a  23264  ovolunlem1  23265  ovoliunlem1  23270  ovoliun  23273  ovoliun2  23274  ovolicc1  23284  voliunlem1  23318  volsup  23324  ioombl1lem2  23327  ioombl1lem4  23329  uniioombllem1  23349  uniioombllem2  23351  uniioombllem6  23356  itg1climres  23481  itg2seq  23509  itg2monolem1  23517  itg2monolem2  23518  itg2monolem3  23519  itg2mono  23520  itg2i1fseq2  23523  itg2cnlem1  23528  aalioulem5  24091  aaliou2b  24096  aaliou3lem4  24101  aaliou3lem7  24104  dcubic1lem  24570  dcubic2  24571  mcubic  24574  log2ub  24676  emcllem6  24727  emcllem7  24728  lgam1  24790  gam1  24791  ftalem7  24805  efnnfsumcl  24829  vmaprm  24843  efvmacl  24846  efchtdvds  24885  vma1  24892  prmorcht  24904  sqff1o  24908  pclogsum  24940  perfectlem1  24954  perfectlem2  24955  bpos1  25008  bposlem5  25013  lgsdir  25057  lgs1  25066  lgsquad2lem2  25110  dchrmusumlema  25182  dchrisum0lema  25203  trkgstr  25343  ttgbas  25757  ttgplusg  25758  ttgvsca  25760  eengstr  25860  baseltedgf  25872  basvtxvalOLD  25903  usgrexmplef  26151  lfgrn1cycl  26697  ipval2  27562  opsqrlem2  29000  ssnnssfz  29549  nnindf  29565  nn0min  29567  isarchi3  29741  resvbas  29832  rge0scvg  29995  zlmds  30008  qqh0  30028  qqh1  30029  esumfzf  30131  esumfsup  30132  esumpcvgval  30140  voliune  30292  eulerpartgbij  30434  eulerpartlemgs2  30442  fib2  30464  rrvsum  30516  ballotlem4  30560  ballotlemi1  30564  ballotlemii  30565  ballotlemic  30568  ballotlem1c  30569  hgt750lem  30729  hgt750leme  30736  faclimlem1  31629  nn0prpwlem  32317  nn0prpw  32318  poimirlem32  33441  ovoliunnfl  33451  voliunnfl  33453  volsupnfl  33454  incsequz  33544  bfplem1  33621  rrncmslem  33631  hlhilsbase  37231  jm2.23  37563  rmydioph  37581  rmxdioph  37583  expdiophlem2  37589  expdioph  37590  relexp2  37969  iunrelexpmin1  38000  iunrelexpmin2  38004  dftrcl3  38012  fvtrcllb1d  38014  cotrcltrcl  38017  corcltrcl  38031  cotrclrcl  38034  prmunb2  38510  sumsnd  39185  nnn0  39595  xrralrecnnge  39613  iooiinicc  39769  iooiinioc  39783  mccl  39830  sumnnodd  39862  wallispilem4  40285  wallispi2lem1  40288  wallispi2lem2  40289  stirlinglem8  40298  stirlinglem11  40301  stirlinglem12  40302  stirlinglem13  40303  fourierdlem31  40355  nnfoctbdjlem  40672  hoicvr  40762  hoicvrrex  40770  hoidmvlelem3  40811  ovnhoilem1  40815  ovnhoilem2  40816  ovnlecvr2  40824  ovnsubadd2lem  40859  iinhoiicclem  40887  vonicclem2  40898  iccpartlt  41360  257prm  41473  fmtnoprmfac2lem1  41478  fmtno4prmfac193  41485  fmtno4nprmfac193  41486  fmtno5nprm  41495  3ndvds4  41510  139prmALT  41511  31prm  41512  127prm  41515  3exp4mod41  41533  41prothprmlem2  41535  perfectALTVlem1  41630  perfectALTVlem2  41631  nnsum3primesprm  41678  bgoldbtbndlem1  41693  tgblthelfgott  41703  tgblthelfgottOLD  41709  nnsgrpmgm  41816  nnsgrpnmnd  41818  blennn0elnn  42371  blen1  42378