Theorem isnsqf 24861

Description: Two ways to say that a number is not squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isnsqf	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem isnsqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmdvdsfi 24833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
2		hashcl 13147	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 11480	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℤ)
5		neg1cn 11124	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
6		neg1ne0 11126	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
7		expne0i 12892	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℤ) → (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) ≠ 0)
8	5, 6, 7	mp3an12 1414	. . . . . 6 ⊢ ((#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℤ → (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) ≠ 0)
9	4, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) ≠ 0)
10		iffalse 4095	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
11	10	neeq1d 2853	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) ≠ 0 ↔ (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) ≠ 0))
12	9, 11	syl5ibrcom 237	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) ≠ 0))
13		muval 24858	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
14	13	neeq1d 2853	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) ≠ 0))
15	12, 14	sylibrd 249	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (μ‘𝐴) ≠ 0))
16	15	necon4bd 2814	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
17		iftrue 4092	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0)
18	13	eqeq1d 2624	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0))
19	17, 18	syl5ibr 236	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (μ‘𝐴) = 0))
20	16, 19	impbid 202	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913  {crab 2916  ifcif 4086   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937  -cneg 10267  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ↑cexp 12860  #chash 13117   ∥ cdvds 14983  ℙcprime 15385  μcmu 24821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  issqf  24862  dvdssqf  24864  mumullem1  24905