Theorem issqf 24862

Description: Two ways to say that a number is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
issqf	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem issqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnsqf 24861	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
2	1	necon3abid 2830	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
3		ralnex 2992	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴)
4		1nn0 11308	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		pccl 15554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
6	5	ancoms 469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
7		nn0ltp1le 11435	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → (1 < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (1 + 1) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
8	4, 6, 7	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (1 < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (1 + 1) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
9		1re 10039	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	6	nn0red 11352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
11		ltnle 10117	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ) → (1 < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
12	9, 10, 11	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (1 < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
13		df-2 11079	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
14	13	breq1i 4660	. . . . . . 7 ⊢ (2 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (1 + 1) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
15		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
16		nnz 11399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
17		2nn0 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18		pcdvdsb 15573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
19	17, 18	mp3an3 1413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
20	15, 16, 19	syl2anr 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (2 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
21	14, 20	syl5bbr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((1 + 1) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
22	8, 12, 21	3bitr3d 298	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
23	22	con1bid 345	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
24	23	ralbidva 2985	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
25	3, 24	syl5bbr 274	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
26	2, 25	bitrd 268	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ↑cexp 12860   ∥ cdvds 14983  ℙcprime 15385   pCnt cpc 15541  μcmu 24821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  sqfpc  24863  mumullem2  24906  sqff1o  24908