Theorem nn0red 11352

Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0red	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nn0red

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 11296	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sseldi 3601	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  ℝcr 9935  ℕ₀cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  nn0cnd  11353  nn0readdcl  11357  eluzmn  11694  flmulnn0  12628  quoremz  12654  quoremnn0ALT  12656  modaddmodup  12733  modaddmodlo  12734  expneg  12868  expnbnd  12993  facdiv  13074  faclbnd6  13086  hashdom  13168  hashun2  13172  hashunx  13175  hashfun  13224  hashf1  13241  seqcoll2  13249  hashge2el2dif  13262  hashtpg  13267  wrdlenge2n0  13341  ccatsymb  13366  ccatrn  13372  ccatalpha  13375  ccat2s1fvw  13415  swrdnd  13432  swrdccat3blem  13495  cshwidxmod  13549  repswcshw  13558  swrds2  13685  modfsummods  14525  climcnds  14583  geomulcvg  14607  mertenslem1  14616  binomfallfaclem2  14771  binomrisefac  14773  fallfacval4  14774  efcllem  14808  eftlub  14839  ruclem10  14968  oddge22np1  15073  nn0oddm1d2  15101  bitsfzolem  15156  bitsfzo  15157  bitsmod  15158  sadcaddlem  15179  sadaddlem  15188  sadasslem  15192  sadeq  15194  smuval2  15204  smupvallem  15205  smueqlem  15212  bezoutlem3  15258  bezoutlem4  15259  gcdzeq  15271  dvdssqlem  15279  nn0seqcvgd  15283  eucalglt  15298  lcmneg  15316  mulgcddvds  15369  qredeu  15372  prmdiveq  15491  odzdvds  15500  pythagtriplem3  15523  pythagtriplem6  15526  pythagtriplem7  15527  iserodd  15540  pclem  15543  pcpremul  15548  pcidlem  15576  pcgcd1  15581  pc2dvds  15583  pcz  15585  pcprmpw2  15586  fldivp1  15601  pcfaclem  15602  pcfac  15603  pcbc  15604  prmreclem2  15621  prmreclem3  15622  prmreclem4  15623  prmreclem5  15624  4sqlem11  15659  4sqlem12  15660  4sqlem14  15662  vdwlem11  15695  vdwlem12  15696  ramlb  15723  0ram  15724  ram0  15726  ramub1lem2  15731  ramcl  15733  psgnunilem2  17915  odmodnn0  17959  mndodconglem  17960  mndodcong  17961  oddvds  17966  odhash3  17991  gexdvds  17999  sylow1lem1  18013  sylow1lem5  18017  pgpfi  18020  pgpssslw  18029  efgsfo  18152  efgredlemd  18157  efgredlem  18160  efgred  18161  lt6abl  18296  telgsums  18390  pgpfaclem2  18481  srgbinomlem3  18542  psrbaglesupp  19368  mplmonmul  19464  coe1tmmul2  19646  coe1tmmul2fv  19648  coe1pwmulfv  19650  gsummoncoe1  19674  zringlpirlem3  19834  fvmptnn04if  20654  fvmptnn04ifc  20657  fvmptnn04ifd  20658  chfacfscmulgsum  20665  chfacfpmmulgsum  20669  lebnumii  22765  dyadmaxlem  23365  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem4  23485  mbfi1fseqlem5  23486  mdegmullem  23838  coe1mul3  23859  coe1mul4  23860  deg1sublt  23870  deg1mul2  23874  deg1tmle  23877  deg1tm  23878  ply1divmo  23895  ply1divex  23896  deg1submon1p  23912  dvdsq1p  23920  fta1glem2  23926  fta1blem  23928  plyco0  23948  plyeq0lem  23966  plypf1  23968  plyaddlem1  23969  coeeulem  23980  dgrub  23990  dgrlb  23992  dgreq  24000  coeaddlem  24005  coemullem  24006  coemulhi  24010  dgrlt  24022  dgradd2  24024  dgrmul  24026  dgrcolem2  24030  dgrco  24031  plydivlem3  24050  plydivlem4  24051  plydivex  24052  plydiveu  24053  fta1lem  24062  quotcan  24064  vieta1lem2  24066  radcnvlem1  24167  dvradcnv  24175  leibpilem1  24667  leibpi  24669  log2tlbnd  24672  birthdaylem2  24679  birthdaylem3  24680  fsumharmonic  24738  dmlogdmgm  24750  basellem3  24809  basellem5  24811  issqf  24862  ppip1le  24887  ppiltx  24903  mumullem2  24906  sgmppw  24922  ppiub  24929  chtublem  24936  chpub  24945  dchrabs  24985  bcmono  25002  bcmax  25003  bcp1ctr  25004  bclbnd  25005  bposlem5  25013  gausslemma2dlem0h  25088  gausslemma2dlem4  25094  gausslemma2dlem6  25097  lgseisenlem1  25100  2lgsoddprmlem2  25134  2sqlem7  25149  2sqlem8  25151  chebbnd1lem1  25158  chtppilimlem1  25162  dchrisum0re  25202  mulogsumlem  25220  selberg2lem  25239  pntrlog2bndlem4  25269  pntlemr  25291  pntlemj  25292  pnt  25303  ostth2lem3  25324  vtxdgfival  26365  vtxdfiun  26378  vtxdginducedm1fi  26440  crctcsh  26716  wwlksnred  26787  wwlksnextproplem2  26805  rusgrnumwwlks  26869  eupth2lems  27098  eucrct2eupth  27105  numclwwlk5  27246  numclwwlk6  27248  friendshipgt3  27256  nnmulge  29515  nndiffz1  29548  2sqmod  29648  nexple  30071  oddpwdc  30416  eulerpartlems  30422  eulerpartlemgc  30424  eulerpartlemb  30430  coinfliplem  30540  signsplypnf  30627  signslema  30639  signstfvc  30651  signstfveq0  30654  fsum2dsub  30685  reprlt  30697  reprgt  30699  reprinfz1  30700  breprexplemc  30710  erdszelem8  31180  erdsze2lem2  31186  cvmliftlem7  31273  snmlff  31311  bcprod  31624  poimirlem3  33412  poimirlem4  33413  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem10  33419  poimirlem11  33420  poimirlem12  33421  poimirlem13  33422  poimirlem15  33424  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem21  33430  poimirlem22  33431  poimirlem23  33432  poimirlem24  33433  poimirlem25  33434  poimirlem26  33435  poimirlem29  33438  poimirlem30  33439  poimirlem31  33440  rrnequiv  33634  eldioph2lem1  37323  pell1qrge1  37434  rmxypos  37514  ltrmynn0  37515  ltrmxnn0  37516  lermxnn0  37517  jm2.24nn  37526  jm2.24  37530  jm2.19  37560  jm2.26lem3  37568  jm2.27c  37574  hbt  37700  dgraa0p  37719  binomcxplemnn0  38548  fsumnncl  39803  mccllem  39829  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  dvnxpaek  40157  dvnmul  40158  dvnprodlem2  40162  stoweidlem17  40234  stoweidlem24  40241  wallispilem5  40286  stirlinglem15  40305  fourierdlem48  40371  fourierdlem83  40406  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  sqwvfoura  40445  elaa2lem  40450  etransclem10  40461  etransclem19  40470  etransclem20  40471  etransclem21  40472  etransclem22  40473  etransclem23  40474  etransclem24  40475  etransclem27  40478  etransclem32  40483  etransclem35  40486  etransclem44  40495  etransclem45  40496  etransclem46  40497  etransclem47  40498  etransclem48  40499  etransc  40500  rrndistlt  40510  pfxsuffeqwrdeq  41406  fmtnoge3  41442  sqrtpwpw2p  41450  fmtnosqrt  41451  flsqrt  41508  lighneallem4a  41525  ssnn0ssfz  42127  pgrple2abl  42146  nn0eo  42322  fllog2  42362  aacllem  42547