Theorem issqf 24862

Description: Two ways to say that a number is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
issqf	|- ( A e. NN -> ( ( mmu ` A ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 ) )

Distinct variable group:   A, p

Proof of Theorem issqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnsqf 24861	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( mmu ` A ) = 0 <-> E. p e. Prime ( p ^ 2 ) || A ) )
2	1	necon3abid 2830	. 2 |- ( A e. NN -> ( ( mmu ` A ) =/= 0 <-> -. E. p e. Prime ( p ^ 2 ) || A ) )
3		ralnex 2992	. . 3 |- ( A. p e. Prime -. ( p ^ 2 ) || A <-> -. E. p e. Prime ( p ^ 2 ) || A )
4		1nn0 11308	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
5		pccl 15554	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ A e. NN ) -> ( p pCnt A ) e. NN0 )
6	5	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. NN0 )
7		nn0ltp1le 11435	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN0 /\ ( p pCnt A ) e. NN0 ) -> ( 1 < ( p pCnt A ) <-> ( 1 + 1 ) <_ ( p pCnt A ) ) )
8	4, 6, 7	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ p e. Prime ) -> ( 1 < ( p pCnt A ) <-> ( 1 + 1 ) <_ ( p pCnt A ) ) )
9		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
10	6	nn0red 11352	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. RR )
11		ltnle 10117	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt A ) e. RR ) -> ( 1 < ( p pCnt A ) <-> -. ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
12	9, 10, 11	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ p e. Prime ) -> ( 1 < ( p pCnt A ) <-> -. ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
13		df-2 11079	. . . . . . . 8 |- 2 = ( 1 + 1 )
14	13	breq1i 4660	. . . . . . 7 |- ( 2 <_ ( p pCnt A ) <-> ( 1 + 1 ) <_ ( p pCnt A ) )
15		id 22	. . . . . . . 8 |- ( p e. Prime -> p e. Prime )
16		nnz 11399	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
17		2nn0 11309	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
18		pcdvdsb 15573	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( 2 <_ ( p pCnt A ) <-> ( p ^ 2 ) || A ) )
19	17, 18	mp3an3 1413	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( 2 <_ ( p pCnt A ) <-> ( p ^ 2 ) || A ) )
20	15, 16, 19	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ p e. Prime ) -> ( 2 <_ ( p pCnt A ) <-> ( p ^ 2 ) || A ) )
21	14, 20	syl5bbr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 + 1 ) <_ ( p pCnt A ) <-> ( p ^ 2 ) || A ) )
22	8, 12, 21	3bitr3d 298	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ p e. Prime ) -> ( -. ( p pCnt A ) <_ 1 <-> ( p ^ 2 ) || A ) )
23	22	con1bid 345	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ p e. Prime ) -> ( -. ( p ^ 2 ) || A <-> ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
24	23	ralbidva 2985	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A. p e. Prime -. ( p ^ 2 ) || A <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
25	3, 24	syl5bbr 274	. 2 |- ( A e. NN -> ( -. E. p e. Prime ( p ^ 2 ) || A <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
26	2, 25	bitrd 268	1 |- ( A e. NN -> ( ( mmu ` A ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860   || cdvds 14983   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   mmucmu 24821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  sqfpc  24863  mumullem2  24906  sqff1o  24908