Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ivth.11 |
. . . 4
⊢ 𝐶 = sup(𝑆, ℝ, < ) |
2 | | ivth.10 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈} |
3 | | ssrab2 3687 |
. . . . . . . 8
⊢ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈} ⊆ (𝐴[,]𝐵) |
4 | 2, 3 | eqsstri 3635 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) |
5 | | ivth.1 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
6 | | ivth.2 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
7 | | iccssre 12255 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
8 | 5, 6, 7 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
9 | 4, 8 | syl5ss 3614 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ) |
10 | | ivth.3 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ) |
11 | | ivth.4 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) |
12 | | ivth.5 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷) |
13 | | ivth.7 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ)) |
14 | | ivth.8 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
15 | | ivth.9 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) |
16 | 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2 | ivthlem1 23220 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵)) |
17 | 16 | simpld 475 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆) |
18 | | ne0i 3921 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑆 ≠ ∅) |
19 | 17, 18 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅) |
20 | 16 | simprd 479 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵) |
21 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ 𝑧 ≤ 𝐵)) |
22 | 21 | ralbidv 2986 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵)) |
23 | 22 | rspcev 3309 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧
∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) |
24 | 6, 20, 23 | syl2anc 693 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) |
25 | 9, 19, 24 | 3jca 1242 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥)) |
26 | | suprcl 10983 |
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
28 | 1, 27 | syl5eqel 2705 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
29 | 15 | simpld 475 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < 𝑈) |
30 | 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 1 | ivthlem2 23221 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝐶) < 𝑈) |
31 | 13 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ)) |
32 | | suprub 10984 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < )) |
33 | 25, 17, 32 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < )) |
34 | 33, 1 | syl6breqr 4695 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶) |
35 | | suprleub 10989 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵)) |
36 | 25, 6, 35 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵)) |
37 | 20, 36 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵) |
38 | 1, 37 | syl5eqbr 4688 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵) |
39 | | elicc2 12238 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))) |
40 | 5, 6, 39 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))) |
41 | 28, 34, 38, 40 | mpbir3and 1245 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
42 | 12, 41 | sseldd 3604 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷) |
43 | 42 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝐷) |
44 | 14 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
45 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐶)) |
46 | 45 | eleq1d 2686 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ ℝ)) |
47 | 46 | rspcv 3305 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → (𝐹‘𝐶) ∈ ℝ)) |
48 | 41, 44, 47 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℝ) |
49 | | difrp 11868 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ ℝ) → (𝑈 < (𝐹‘𝐶) ↔ ((𝐹‘𝐶) − 𝑈) ∈
ℝ+)) |
50 | 10, 48, 49 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝐶) ↔ ((𝐹‘𝐶) − 𝑈) ∈
ℝ+)) |
51 | 50 | biimpa 501 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) → ((𝐹‘𝐶) − 𝑈) ∈
ℝ+) |
52 | | cncfi 22697 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ((𝐹‘𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ+) →
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈))) |
53 | 31, 43, 51, 52 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈))) |
54 | | ssralv 3666 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷 → (∀𝑦 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)))) |
55 | 12, 54 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)))) |
56 | 55 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) →
(∀𝑦 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)))) |
57 | 28 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈
ℝ) |
58 | | ltsubrp 11866 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)
→ (𝐶 − 𝑧) < 𝐶) |
59 | 57, 58 | sylancom 701 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶 − 𝑧) < 𝐶) |
60 | 59, 1 | syl6breq 4694 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶 − 𝑧) < sup(𝑆, ℝ, < )) |
61 | 25 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥)) |
62 | | rpre 11839 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑧 ∈ ℝ+
→ 𝑧 ∈
ℝ) |
63 | 62 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈
ℝ) |
64 | 57, 63 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶 − 𝑧) ∈ ℝ) |
65 | | suprlub 10987 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ (𝐶 − 𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝑧) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) |
66 | 61, 64, 65 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝐶 − 𝑧) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) |
67 | 60, 66 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) →
∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝐶 − 𝑧) < 𝑦) |
68 | 4 | sseli 3599 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
69 | 68 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
70 | | simplll 798 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → 𝜑) |
71 | 70, 8 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
72 | 71, 69 | sseldd 3604 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ) |
73 | 70, 28 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → 𝐶 ∈ ℝ) |
74 | 70, 25 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥)) |
75 | | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑆) |
76 | | suprub 10984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ≤ sup(𝑆, ℝ, < )) |
77 | 74, 75, 76 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → 𝑦 ≤ sup(𝑆, ℝ, < )) |
78 | 77, 1 | syl6breqr 4695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → 𝑦 ≤ 𝐶) |
79 | 72, 73, 78 | abssuble0d 14171 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → (abs‘(𝑦 − 𝐶)) = (𝐶 − 𝑦)) |
80 | 63 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ) |
81 | | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → (𝐶 − 𝑧) < 𝑦) |
82 | 73, 80, 72, 81 | ltsub23d 10632 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → (𝐶 − 𝑦) < 𝑧) |
83 | 79, 82 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧) |
84 | 69, 83, 75 | jca32 558 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))) |
85 | 84 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝐶 − 𝑧) < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)))) |
86 | 85 | reximdv2 3014 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) →
(∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝐶 − 𝑧) < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))) |
87 | 67, 86 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) →
∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) |
88 | | r19.29 3072 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((∀𝑦 ∈
(𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))) |
89 | | pm3.45 879 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((abs‘(𝑦
− 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) → (((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))) |
90 | 89 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((abs‘(𝑦
− 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) |
91 | 68 | ad2antll 765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
92 | 44 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
93 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) |
94 | 93 | eleq1d 2686 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)) |
95 | 94 | rspcv 3305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)) |
96 | 91, 92, 95 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ) |
97 | 48 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℝ) |
98 | 10 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑈 ∈ ℝ) |
99 | 97, 98 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ) |
100 | 96, 97, 99 | absdifltd 14172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈) ↔ (((𝐹‘𝐶) − ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) < (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑦) < ((𝐹‘𝐶) + ((𝐹‘𝐶) − 𝑈))))) |
101 | 97 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ) |
102 | 98 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑈 ∈ ℂ) |
103 | 101, 102 | nncand 10397 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝐶) − ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) = 𝑈) |
104 | 103 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (((𝐹‘𝐶) − ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) < (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑦))) |
105 | 93 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈)) |
106 | 105, 2 | elrab2 3366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈)) |
107 | 106 | simprbi 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈) |
108 | 107 | ad2antll 765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈) |
109 | 96, 98 | lenltd 10183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈 ↔ ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝑦))) |
110 | 108, 109 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝑦)) |
111 | 110 | pm2.21d 118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑈 < (𝐹‘𝑦) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶))) |
112 | 104, 111 | sylbid 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (((𝐹‘𝐶) − ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) < (𝐹‘𝑦) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶))) |
113 | 112 | adantrd 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((((𝐹‘𝐶) − ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) < (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑦) < ((𝐹‘𝐶) + ((𝐹‘𝐶) − 𝑈))) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶))) |
114 | 100, 113 | sylbid 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶))) |
115 | 114 | expr 643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝑆 → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)))) |
116 | 115 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) →
((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)))) |
117 | 116 | impd 447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) →
(((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶))) |
118 | 117 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶))) |
119 | 90, 118 | syl5 34 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶))) |
120 | 119 | rexlimdva 3031 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) →
(∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶))) |
121 | 88, 120 | syl5 34 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) →
((∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶))) |
122 | 87, 121 | mpan2d 710 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) →
(∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶))) |
123 | 56, 122 | syld 47 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) →
(∀𝑦 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶))) |
124 | 123 | rexlimdva 3031 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < ((𝐹‘𝐶) − 𝑈)) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶))) |
125 | 53, 124 | mpd 15 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) |
126 | 125 | pm2.01da 458 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)) |
127 | 48, 10 | lttri3d 10177 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) = 𝑈 ↔ (¬ (𝐹‘𝐶) < 𝑈 ∧ ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐶)))) |
128 | 30, 126, 127 | mpbir2and 957 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) = 𝑈) |
129 | 29, 128 | breqtrrd 4681 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < (𝐹‘𝐶)) |
130 | 48 | ltnrd 10171 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝐶) < (𝐹‘𝐶)) |
131 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐶 = 𝐴 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐴)) |
132 | 131 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐶 = 𝐴 → ((𝐹‘𝐶) < (𝐹‘𝐶) ↔ (𝐹‘𝐴) < (𝐹‘𝐶))) |
133 | 132 | notbid 308 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐶 = 𝐴 → (¬ (𝐹‘𝐶) < (𝐹‘𝐶) ↔ ¬ (𝐹‘𝐴) < (𝐹‘𝐶))) |
134 | 130, 133 | syl5ibcom 235 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐶 = 𝐴 → ¬ (𝐹‘𝐴) < (𝐹‘𝐶))) |
135 | 134 | necon2ad 2809 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < (𝐹‘𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐴)) |
136 | 135, 34 | jctild 566 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < (𝐹‘𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))) |
137 | 5, 28 | ltlend 10182 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))) |
138 | 136, 137 | sylibrd 249 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < (𝐹‘𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
139 | 129, 138 | mpd 15 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶) |
140 | 15 | simprd 479 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝐹‘𝐵)) |
141 | 128, 140 | eqbrtrd 4675 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) < (𝐹‘𝐵)) |
142 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐹‘𝐵) = (𝐹‘𝐶)) |
143 | 142 | breq2d 4665 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝐹‘𝐶) < (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘𝐶) < (𝐹‘𝐶))) |
144 | 143 | notbid 308 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐵 = 𝐶 → (¬ (𝐹‘𝐶) < (𝐹‘𝐵) ↔ ¬ (𝐹‘𝐶) < (𝐹‘𝐶))) |
145 | 130, 144 | syl5ibrcom 237 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 → ¬ (𝐹‘𝐶) < (𝐹‘𝐵))) |
146 | 145 | necon2ad 2809 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) < (𝐹‘𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐶)) |
147 | 146, 38 | jctild 566 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) < (𝐹‘𝐵) → (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) |
148 | 28, 6 | ltlend 10182 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ↔ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) |
149 | 147, 148 | sylibrd 249 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) < (𝐹‘𝐵) → 𝐶 < 𝐵)) |
150 | 141, 149 | mpd 15 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵) |
151 | 5 | rexrd 10089 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ*) |
152 | 6 | rexrd 10089 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
153 | | elioo2 12216 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))) |
154 | 151, 152,
153 | syl2anc 693 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))) |
155 | 28, 139, 150, 154 | mpbir3and 1245 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) |
156 | 155, 128 | jca 554 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝑈)) |