Theorem nncand 10397

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 10310	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   − cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  moddiffl  12681  flmod  12684  ccatswrd  13456  o1dif  14360  fprodser  14679  fprodrev  14707  fallfacval3  14743  efaddlem  14823  4sqlem5  15646  mul4sqlem  15657  4sqlem14  15662  coe1tmmul2  19646  znunit  19912  blssps  22229  blss  22230  metdstri  22654  ivthlem3  23222  ioorcl2  23340  vitalilem2  23378  dvexp3  23741  dvcvx  23783  iblulm  24161  chordthmlem4  24562  heron  24565  cubic  24576  dquartlem1  24578  birthdaylem2  24679  lgamgulmlem2  24756  lgamcvg2  24781  ftalem2  24800  basellem3  24809  gausslemma2dlem1a  25090  lgsquadlem1  25105  pntrlog2bndlem4  25269  axsegconlem1  25797  lt2addrd  29516  ballotlemsf1o  30575  bcprod  31624  lzenom  37333  rmspecfund  37474  fzmaxdif  37548  jm2.18  37555  jm2.19  37560  jm2.20nn  37564  supxrgere  39549  lptre2pt  39872  ioodvbdlimc2lem  40149  dvnprodlem1  40161  dvnprodlem2  40162  fourierdlem4  40328  fourierdlem26  40350  fourierdlem42  40366  fourierdlem48  40371  fourierdlem65  40388  fouriersw  40448  sge0gtfsumgt  40660  meaiininclem  40700  fmtnorec2lem  41454  goldbachthlem2  41458  pw2m1lepw2m1  42310