Theorem ivthlem3 23222

Description: Lemma for ivth 23223, the intermediate value theorem. Show that ( F ` C ) cannot be greater than U, and so establish the existence of a root of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	|- ( ph -> A e. RR )
ivth.2	|- ( ph -> B e. RR )
ivth.3	|- ( ph -> U e. RR )
ivth.4	|- ( ph -> A < B )
ivth.5	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
ivth.7	|- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
ivth.8	|- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
ivth.9	|- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
ivth.10	|- S = { x e. ( A [,] B ) | ( F ` x ) <_ U }
ivth.11	|- C = sup ( S , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
ivthlem3	|- ( ph -> ( C e. ( A (,) B ) /\ ( F ` C ) = U ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, D   x, F   ph, x   x, A   x, C   x, S   x, U

Proof of Theorem ivthlem3

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.11	. . . 4 |- C = sup ( S , RR , < )
2		ivth.10	. . . . . . . 8 |- S = { x e. ( A [,] B ) | ( F ` x ) <_ U }
3		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { x e. ( A [,] B ) | ( F ` x ) <_ U } C_ ( A [,] B )
4	2, 3	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- S C_ ( A [,] B )
5		ivth.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
6		ivth.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR )
7		iccssre 12255	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
8	5, 6, 7	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
9	4, 8	syl5ss 3614	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ RR )
10		ivth.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. RR )
11		ivth.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A < B )
12		ivth.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
13		ivth.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
14		ivth.8	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
15		ivth.9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
16	5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2	ivthlem1 23220	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A e. S /\ A. z e. S z <_ B ) )
17	16	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. S )
18		ne0i 3921	. . . . . . 7 |- ( A e. S -> S =/= (/) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> S =/= (/) )
20	16	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. S z <_ B )
21		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( z <_ x <-> z <_ B ) )
22	21	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( A. z e. S z <_ x <-> A. z e. S z <_ B ) )
23	22	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A. z e. S z <_ B ) -> E. x e. RR A. z e. S z <_ x )
24	6, 20, 23	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. S z <_ x )
25	9, 19, 24	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ph -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) )
26		suprcl 10983	. . . . 5 |- ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) -> sup ( S , RR , < ) e. RR )
27	25, 26	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> sup ( S , RR , < ) e. RR )
28	1, 27	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
29	15	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` A ) < U )
30	5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 1	ivthlem2 23221	. . . . . 6 |- ( ph -> -. ( F ` C ) < U )
31	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> F e. ( D -cn-> CC ) )
32		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ A e. S ) -> A <_ sup ( S , RR , < ) )
33	25, 17, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A <_ sup ( S , RR , < ) )
34	33, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A <_ C )
35		suprleub 10989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ B e. RR ) -> ( sup ( S , RR , < ) <_ B <-> A. z e. S z <_ B ) )
36	25, 6, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sup ( S , RR , < ) <_ B <-> A. z e. S z <_ B ) )
37	20, 36	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sup ( S , RR , < ) <_ B )
38	1, 37	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C <_ B )
39		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
40	5, 6, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
41	28, 34, 38, 40	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( A [,] B ) )
42	12, 41	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. D )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> C e. D )
44	14	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
45		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = C -> ( F ` x ) = ( F ` C ) )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = C -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` C ) e. RR ) )
47	46	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( A [,] B ) -> ( A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR -> ( F ` C ) e. RR ) )
48	41, 44, 47	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` C ) e. RR )
49		difrp 11868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. RR /\ ( F ` C ) e. RR ) -> ( U < ( F ` C ) <-> ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ ) )
50	10, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U < ( F ` C ) <-> ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ ) )
51	50	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ )
52		cncfi 22697	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( D -cn-> CC ) /\ C e. D /\ ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) )
53	31, 43, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> E. z e. RR+ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) )
54		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A [,] B ) C_ D -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) ) )
55	12, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) ) )
56	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) ) )
57	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> C e. RR )
58		ltsubrp 11866	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. RR /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) < C )
59	57, 58	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) < C )
60	59, 1	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) < sup ( S , RR , < ) )
61	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) )
62		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. RR+ -> z e. RR )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> z e. RR )
64	57, 63	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) e. RR )
65		suprlub 10987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ ( C - z ) e. RR ) -> ( ( C - z ) < sup ( S , RR , < ) <-> E. y e. S ( C - z ) < y ) )
66	61, 64, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( C - z ) < sup ( S , RR , < ) <-> E. y e. S ( C - z ) < y ) )
67	60, 66	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> E. y e. S ( C - z ) < y )
68	4	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. S -> y e. ( A [,] B ) )
69	68	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
70		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ph )
71	70, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
72	71, 69	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y e. RR )
73	70, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> C e. RR )
74	70, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) )
75		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y e. S )
76		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ y e. S ) -> y <_ sup ( S , RR , < ) )
77	74, 75, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y <_ sup ( S , RR , < ) )
78	77, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y <_ C )
79	72, 73, 78	abssuble0d 14171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( abs ` ( y - C ) ) = ( C - y ) )
80	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> z e. RR )
81		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( C - z ) < y )
82	73, 80, 72, 81	ltsub23d 10632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( C - y ) < z )
83	79, 82	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( abs ` ( y - C ) ) < z )
84	69, 83, 75	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( y e. ( A [,] B ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) )
85	84	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) -> ( y e. ( A [,] B ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) ) )
86	85	reximdv2 3014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( E. y e. S ( C - z ) < y -> E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) )
87	67, 86	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) )
88		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> E. y e. ( A [,] B ) ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) )
89		pm3.45 879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) ) )
90	89	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) )
91	68	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
92	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
93		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
94	93	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` y ) e. RR ) )
95	94	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( A [,] B ) -> ( A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR -> ( F ` y ) e. RR ) )
96	91, 92, 95	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
97	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` C ) e. RR )
98	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> U e. RR )
99	97, 98	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( F ` C ) - U ) e. RR )
100	96, 97, 99	absdifltd 14172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) /\ ( F ` y ) < ( ( F ` C ) + ( ( F ` C ) - U ) ) ) ) )
101	97	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
102	98	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> U e. CC )
103	101, 102	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) = U )
104	103	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) <-> U < ( F ` y ) ) )
105	93	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) <_ U <-> ( F ` y ) <_ U ) )
106	105, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. S <-> ( y e. ( A [,] B ) /\ ( F ` y ) <_ U ) )
107	106	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. S -> ( F ` y ) <_ U )
108	107	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` y ) <_ U )
109	96, 98	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( F ` y ) <_ U <-> -. U < ( F ` y ) ) )
110	108, 109	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` y ) )
111	110	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( U < ( F ` y ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
112	104, 111	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
113	112	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) /\ ( F ` y ) < ( ( F ` C ) + ( ( F ` C ) - U ) ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
114	100, 113	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
115	114	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( y e. S -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) -> -. U < ( F ` C ) ) ) )
116	115	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) -> ( y e. S -> -. U < ( F ` C ) ) ) )
117	116	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
119	90, 118	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
120	119	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( E. y e. ( A [,] B ) ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
121	88, 120	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
122	87, 121	mpan2d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
123	56, 122	syld 47	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
124	123	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> ( E. z e. RR+ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
125	53, 124	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> -. U < ( F ` C ) )
126	125	pm2.01da 458	. . . . . 6 |- ( ph -> -. U < ( F ` C ) )
127	48, 10	lttri3d 10177	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` C ) = U <-> ( -. ( F ` C ) < U /\ -. U < ( F ` C ) ) ) )
128	30, 126, 127	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` C ) = U )
129	29, 128	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` A ) < ( F ` C ) )
130	48	ltnrd 10171	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. ( F ` C ) < ( F ` C ) )
131		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( C = A -> ( F ` C ) = ( F ` A ) )
132	131	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( C = A -> ( ( F ` C ) < ( F ` C ) <-> ( F ` A ) < ( F ` C ) ) )
133	132	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( C = A -> ( -. ( F ` C ) < ( F ` C ) <-> -. ( F ` A ) < ( F ` C ) ) )
134	130, 133	syl5ibcom 235	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C = A -> -. ( F ` A ) < ( F ` C ) ) )
135	134	necon2ad 2809	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < ( F ` C ) -> C =/= A ) )
136	135, 34	jctild 566	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < ( F ` C ) -> ( A <_ C /\ C =/= A ) ) )
137	5, 28	ltlend 10182	. . . . 5 |- ( ph -> ( A < C <-> ( A <_ C /\ C =/= A ) ) )
138	136, 137	sylibrd 249	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < ( F ` C ) -> A < C ) )
139	129, 138	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A < C )
140	15	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> U < ( F ` B ) )
141	128, 140	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` C ) < ( F ` B ) )
142		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( B = C -> ( F ` B ) = ( F ` C ) )
143	142	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( B = C -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) <-> ( F ` C ) < ( F ` C ) ) )
144	143	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( B = C -> ( -. ( F ` C ) < ( F ` B ) <-> -. ( F ` C ) < ( F ` C ) ) )
145	130, 144	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B = C -> -. ( F ` C ) < ( F ` B ) ) )
146	145	necon2ad 2809	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) -> B =/= C ) )
147	146, 38	jctild 566	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) -> ( C <_ B /\ B =/= C ) ) )
148	28, 6	ltlend 10182	. . . . 5 |- ( ph -> ( C < B <-> ( C <_ B /\ B =/= C ) ) )
149	147, 148	sylibrd 249	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) -> C < B ) )
150	141, 149	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> C < B )
151	5	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR* )
152	6	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR* )
153		elioo2 12216	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )
154	151, 152, 153	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )
155	28, 139, 150, 154	mpbir3and 1245	. 2 |- ( ph -> C e. ( A (,) B ) )
156	155, 128	jca 554	1 |- ( ph -> ( C e. ( A (,) B ) /\ ( F ` C ) = U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   abscabs 13974   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-cncf 22681

This theorem is referenced by:  ivth  23223