Theorem lfgrnloop 26020

Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgrnloopv.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
lfgrnloop	⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐼
2		nfcv 2764	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		lfuhgrnloopv.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
4		nfrab1 3122	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
5	3, 4	nfcxfr 2762	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐸
6	1, 2, 5	nff 6041	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐼:𝐴⟶𝐸
7		hashsn01 13204	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘{𝑈}) = 0 ∨ (#‘{𝑈}) = 1)
8		2pos 11112	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
9		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	9, 10	ltnlei 10158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
12	8, 11	mpbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ≤ 0
13		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘{𝑈}) = 0 → (2 ≤ (#‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 0))
14	12, 13	mtbiri 317	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝑈}) = 0 → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
15		1lt2 11194	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
16		1re 10039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	16, 10	ltnlei 10158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
18	15, 17	mpbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
19		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘{𝑈}) = 1 → (2 ≤ (#‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 1))
20	18, 19	mtbiri 317	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝑈}) = 1 → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
21	14, 20	jaoi 394	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘{𝑈}) = 0 ∨ (#‘{𝑈}) = 1) → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
22	7, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈})
23		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → (#‘(𝐼‘𝑥)) = (#‘{𝑈}))
24	23	breq2d 4665	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → (2 ≤ (#‘(𝐼‘𝑥)) ↔ 2 ≤ (#‘{𝑈})))
25	22, 24	mtbiri 317	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → ¬ 2 ≤ (#‘(𝐼‘𝑥)))
26		lfuhgrnloopv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
27		lfuhgrnloopv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
28	26, 27, 3	lfgredgge2 26019	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 2 ≤ (#‘(𝐼‘𝑥)))
29	25, 28	nsyl3 133	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
30	29	ex 450	. . 3 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}))
31	6, 30	ralrimi 2957	. 2 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
32		rabeq0 3957	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
33	31, 32	sylibr 224	1 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {crab 2916  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  {csn 4177   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  0cc0 9936  1c1 9937   < clt 10074   ≤ cle 10075  2c2 11070  #chash 13117  iEdgciedg 25875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  vtxdlfgrval  26381