Theorem lmatfval 29880

Description: Entries of a literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
lmatfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
lmatfval	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmatfval

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3		lmatval 29879	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
5	1, 4	syl5eq 2668	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑖 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6		simprl 794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → 𝑖 = 𝐼)
7	6	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑖 − 1) = (𝐼 − 1))
8	7	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑊‘(𝑖 − 1)) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
9		simprr 796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → 𝑗 = 𝐽)
10	9	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑗 − 1) = (𝐽 − 1))
11	8, 10	fveq12d 6197	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
12		lmatfval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
13		lmatfval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝑁)
14	13	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(#‘𝑊)) = (1...𝑁))
15	12, 14	eleqtrrd 2704	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...(#‘𝑊)))
16		lmatfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
17		1m1e0 11089	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
18		lmatfval.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
19		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
20	18, 19	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
21		eluzfz1 12348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
23		fz1fzo0m1 12515	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (1...𝑁) → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
25	17, 24	syl5eqelr 2706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
26		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
27	26	eleq1d 2686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
28	26	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
29	28	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (#‘(𝑊‘𝑖)) = (#‘(𝑊‘0)))
30	29	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((#‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
31	27, 30	imbi12d 334	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
32		lmatfval.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
33	32	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁))
34	25, 31, 33	vtocld 3257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
35	25, 34	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
36	35	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(#‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
37	16, 36	eleqtrrd 2704	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))))
38		fz1fzo0m1 12515	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑁) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
39	12, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
40	13	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^𝑁))
41	39, 40	eleqtrrd 2704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
42		wrdsymbcl 13318	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
43	2, 41, 42	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
44		fz1fzo0m1 12515	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (1...𝑁) → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
45	16, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
46		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → 𝑖 = (𝐼 − 1))
47	46	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
48	46	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
49	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → (#‘(𝑊‘𝑖)) = (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))))
50	49	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((#‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
51	47, 50	imbi12d 334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)))
52	39, 51, 33	vtocld 3257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
53	39, 52	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)
54	53	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(#‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))) = (0..^𝑁))
55	45, 54	eleqtrrd 2704	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^(#‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))))
56		wrdsymbcl 13318	. . 3 ⊢ (((𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐽 − 1) ∈ (0..^(#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
57	43, 55, 56	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
58	5, 11, 15, 37, 57	ovmpt2d 6788	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  0cc0 9936  1c1 9937   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291  litMatclmat 29877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lmat 29878

This theorem is referenced by:  lmatfvlem  29881  lmat22e11  29884