Theorem eluzfz1 12348

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 11692	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 11702	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 12337	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 703	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  elfz3  12351  fzn0  12355  fzopth  12378  seqcl  12821  seqfveq  12825  seqshft2  12827  monoord  12831  monoord2  12832  seqcaopr3  12836  seqf1olem2a  12839  seqf1olem2  12841  seqhomo  12848  seqcoll  13248  swrd0val  13421  splid  13504  spllen  13505  splfv1  13506  splfv2a  13507  splval2  13508  fsum1p  14482  telfsumo  14534  telfsumo2  14535  fsumparts  14538  mertenslem2  14617  prodfn0  14626  prodfrec  14627  fprod1p  14698  phicl2  15473  eulerthlem2  15487  4sqlem19  15667  vdwlem1  15685  vdwlem6  15690  vdw  15698  fvprmselelfz  15748  prmodvdslcmf  15751  gsumval2  17280  efgsdmi  18145  efgredleme  18156  efgredlemc  18158  efgcpbllemb  18168  frgpuplem  18185  gsumval3  18308  telgsumfzslem  18385  telgsumfzs  18386  pmatcollpw3fi1lem1  20591  chfacfisf  20659  chfacfisfcpmat  20660  cpmadugsumlemF  20681  imasdsf1olem  22178  ovoliunlem1  23270  mbfi1fseqlem3  23484  cxpeq  24498  ppiltx  24903  logexprlim  24950  dchrmusum2  25183  dchrvmasum2lem  25185  mudivsum  25219  mulogsum  25221  mulog2sumlem2  25224  axlowdimlem13  25834  axlowdim1  25839  axlowdim  25841  crctcshwlkn0lem6  26707  fzto1stfv1  29851  fzto1stinvn  29854  lmatfval  29880  lmat22e11  29884  ballotlem4  30560  ballotlemic  30568  ballotlem1c  30569  ballotlem1ri  30596  wrdsplex  30618  subfacp1lem1  31161  subfacp1lem5  31166  subfacp1lem6  31167  cvmliftlem10  31276  cvmliftlem13  31278  inffz  31614  inffzOLD  31615  fwddifnp1  32272  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem28  33437  fdc  33541  mettrifi  33553  fmul01lt1lem1  39816  dvnmptdivc  40153  dvnmul  40158  itgspltprt  40195  stoweidlem17  40234  stoweidlem20  40237  stoweidlem34  40251  fourierdlem15  40339  fourierdlem48  40371  fourierdlem50  40373  fourierdlem52  40375  fourierdlem54  40377  fourierdlem64  40387  fourierdlem81  40404  fourierdlem102  40425  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem111  40434  fourierdlem114  40437  etransclem10  40461  etransclem14  40465  etransclem15  40466  etransclem24  40475  etransclem35  40486  etransclem44  40495  smfmullem4  41001  ssfz12  41324  smonoord  41341