Theorem lzenom 37333

Description: Lower integers are countably infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lzenom	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)

Proof of Theorem lzenom

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 11386	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
2		difexg 4808	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ V → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∈ V)
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∈ V)
4		nnex 11026	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ℕ ∈ V)
6		ovex 6678	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ V
7	6	2a1i 12	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ V))
8		ovex 6678	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ V
9	8	2a1i 12	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ V))
10		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 11485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
12		simprl 794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℤ)
13	11, 12	zsubcld 11487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ)
14		zre 11381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℝ)
16	11	zred 11482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
17		1red 10055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
18		simprr 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ≤ 𝑁)
19		zcn 11382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		pncan 10287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
23	20, 21, 22	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
24	18, 23	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ≤ ((𝑁 + 1) − 1))
25	15, 16, 17, 24	lesubd 10631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎))
26	11	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
27		zcn 11382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
28	27	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℂ)
29	26, 28	nncand 10397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)) = 𝑎)
30	29	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
31	13, 25, 30	jca31 557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
32	31	adantrr 753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
33		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (𝑏 ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ))
34		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (1 ≤ 𝑏 ↔ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
35	33, 34	anbi12d 747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ↔ (((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
36		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
37	36	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) ↔ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
38	35, 37	anbi12d 747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))))
39	38	ad2antll 765	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))))
40	32, 39	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
41		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41	peano2zd 11485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
43		simprl 794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
44	42, 43	zsubcld 11487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ)
45	42	zred 11482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
46		zre 11381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℝ)
48		zre 11381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
49	48	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
50	47	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℂ)
51		pncan2 10288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
52	50, 21, 51	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
53		simprr 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 1 ≤ 𝑏)
54	52, 53	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) ≤ 𝑏)
55	45, 47, 49, 54	subled 10630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁)
56	42	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
57		zcn 11382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
59	56, 58	nncand 10397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)) = 𝑏)
60	59	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
61	44, 55, 60	jca31 557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
62	61	adantrr 753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
63		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑎 ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ))
64		breq1 4656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑎 ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁))
65	63, 64	anbi12d 747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁)))
66		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
67	66	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) ↔ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
68	65, 67	anbi12d 747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))))
69	68	ad2antll 765	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))))
70	62, 69	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
71	40, 70	impbida 877	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
72		ellz1 37330	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
73	72	anbi1d 741	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
74		elnnz1 11403	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏))
75	74	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)))
76	75	anbi1d 741	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
77	71, 73, 76	3bitr4d 300	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ (𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
78	3, 5, 7, 9, 77	en2d 7991	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ℕ)
79		nnenom 12779	. 2 ⊢ ℕ ≈ ω
80		entr 8008	. 2 ⊢ (((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)
81	78, 79, 80	sylancl 694	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ωcom 7065   ≈ cen 7952  ℂcc 9934  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  diophin  37336  diophren  37377