Theorem max0add 14050

Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
max0add	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem max0add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10041	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		recn 10026	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	addid1d 10236	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
6		iftrue 4092	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
7	6	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
8		le0neg2 10537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
9	8	biimpa 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
11		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → 0 ≤ -𝐴)
12		renegcl 10344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ)
14		0re 10040	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		letri3 10123	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 0 ↔ (-𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐴)))
16	13, 14, 15	sylancl 694	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → (-𝐴 = 0 ↔ (-𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐴)))
17	10, 11, 16	mpbir2and 957	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 = 0)
18	17	ifeq1da 4116	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = if(0 ≤ -𝐴, 0, 0))
19		ifid 4125	. . . . 5 ⊢ if(0 ≤ -𝐴, 0, 0) = 0
20	18, 19	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
21	7, 20	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (𝐴 + 0))
22		absid 14036	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
23	5, 21, 22	3eqtr4d 2666	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))
24	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	negcld 10379	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
26	25	addid2d 10237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (0 + -𝐴) = -𝐴)
27		letri3 10123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
28	14, 27	mpan2 707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
29	28	biimprd 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = 0))
30	29	impl 650	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = 0)
31	30	ifeq1da 4116	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = if(0 ≤ 𝐴, 0, 0))
32		ifid 4125	. . . . 5 ⊢ if(0 ≤ 𝐴, 0, 0) = 0
33	31, 32	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
34		le0neg1 10536	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
35	34	biimpa 501	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
36	35	iftrued 4094	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = -𝐴)
37	33, 36	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (0 + -𝐴))
38		absnid 14038	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
39	26, 37, 38	3eqtr4d 2666	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))
40	1, 2, 23, 39	lecasei 10143	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ifcif 4086   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939   ≤ cle 10075  -cneg 10267  abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  iblabslem  23594  iblabsnclem  33473