Theorem mdeg0 23830

Description: Degree of the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdeg0.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdeg0.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdeg0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdeg0	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐷‘ 0 ) = -∞)

Proof of Theorem mdeg0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 18552	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		mdeg0.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3	2	mplgrp 19450	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
4	1, 3	sylan2 491	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Grp)
5		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6		mdeg0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
7	5, 6	grpidcl 17450	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑃))
8		mdeg0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
9		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10		eqid 2622	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
11		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
12	8, 2, 5, 9, 10, 11	mdegval 23823	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘ 0 ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
13	4, 7, 12	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐷‘ 0 ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
14		simpl 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ 𝑉)
15	1	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
16	2, 10, 9, 6, 14, 15	mpl0 19441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
17		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
18		fnconstg 6093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
20	16	fneq1d 5981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}))
21	19, 20	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
22		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V
23	22	rabex 4813	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
25	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝑅) ∈ V)
26		fnsuppeq0 7323	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) → (( 0 supp (0g‘𝑅)) = ∅ ↔ 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})))
27	21, 24, 25, 26	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (( 0 supp (0g‘𝑅)) = ∅ ↔ 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})))
28	16, 27	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( 0 supp (0g‘𝑅)) = ∅)
29	28	imaeq2d 5466	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))) = ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ∅))
30		ima0 5481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ∅) = ∅
31	29, 30	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))) = ∅)
32	31	supeq1d 8352	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
33		xrsup0 12153	. . 3 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
34	32, 33	syl6eq 2672	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = -∞)
35	13, 34	eqtrd 2656	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐷‘ 0 ) = -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916  Vcvv 3200  ∅c0 3915  {csn 4177   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955  supcsup 8346  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  Grpcgrp 17422  Ringcrg 18547   mPoly cmpl 19353  ℂ_fldccnfld 19746   mDeg cmdg 23813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-ring 18549  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-mdeg 23815

This theorem is referenced by:  deg1z  23847