Theorem mrelatglb 17184

Description: Greatest lower bounds in a Moore space are realized by intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mrelatglb	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝐺‘𝑈) = ∩ 𝑈)

Proof of Theorem mrelatglb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		mreclat.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
3	2	ipobas 17155	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
4	3	3ad2ant1 1082	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
5		mrelatglb.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐺 = (glb‘𝐼))
7	2	ipopos 17160	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐼 ∈ Poset)
9		simp2 1062	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ⊆ 𝐶)
10		mreintcl 16255	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∩ 𝑈 ∈ 𝐶)
11		intss1 4492	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → ∩ 𝑈 ⊆ 𝑥)
12	11	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∩ 𝑈 ⊆ 𝑥)
13		simpl1 1064	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
14	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∩ 𝑈 ∈ 𝐶)
15	9	sselda 3603	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐶)
16	2, 1	ipole 17158	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∩ 𝑈 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (∩ 𝑈(le‘𝐼)𝑥 ↔ ∩ 𝑈 ⊆ 𝑥))
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∩ 𝑈(le‘𝐼)𝑥 ↔ ∩ 𝑈 ⊆ 𝑥))
18	12, 17	mpbird 247	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∩ 𝑈(le‘𝐼)𝑥)
19		simpll1 1100	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
20		simplr 792	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝐶)
21		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑈 ⊆ 𝐶)
22	21	sselda 3603	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐶)
23	2, 1	ipole 17158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
24	19, 20, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
25	24	biimpd 219	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
26	25	ralimdva 2962	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ⊆ 𝑥))
27	26	3impia 1261	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ⊆ 𝑥)
28		ssint 4493	. . . 4 ⊢ (𝑦 ⊆ ∩ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ⊆ 𝑥)
29	27, 28	sylibr 224	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦 ⊆ ∩ 𝑈)
30		simp11 1091	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
31		simp2 1062	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐶)
32	10	3ad2ant1 1082	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → ∩ 𝑈 ∈ 𝐶)
33	2, 1	ipole 17158	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∩ 𝑈 ∈ 𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)∩ 𝑈 ↔ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑈))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → (𝑦(le‘𝐼)∩ 𝑈 ↔ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑈))
35	29, 34	mpbird 247	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦(le‘𝐼)∩ 𝑈)
36	1, 4, 6, 8, 9, 10, 18, 35	posglbd 17150	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝐺‘𝑈) = ∩ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ∩ cint 4475   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  lecple 15948  Moorecmre 16242  Posetcpo 16940  glbcglb 16943  toInccipo 17151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ocomp 15963  df-mre 16246  df-preset 16928  df-poset 16946  df-lub 16974  df-glb 16975  df-odu 17129  df-ipo 17152

This theorem is referenced by:  mreclatBAD  17187