Theorem mrsubff1 31411

Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubvr.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubvr.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubvr.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubff1	⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉)):(𝑅 ↑𝑚 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑𝑚 𝑅))

Proof of Theorem mrsubff1

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrsubvr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		mrsubvr.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
3		mrsubvr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
4	1, 2, 3	mrsubff 31409	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑𝑚 𝑅))
5		mapsspm 7891	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ⊆ (𝑅 ↑pm 𝑉)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ⊆ (𝑅 ↑pm 𝑉))
7	4, 6	fssresd 6071	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉)):(𝑅 ↑𝑚 𝑉)⟶(𝑅 ↑𝑚 𝑅))
8		fveq1 6190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩))
9		simplrl 800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))
10		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
12		ssid 3624	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ⊆ 𝑉
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑉 ⊆ 𝑉)
14		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
15	1, 2, 3	mrsubvr 31408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓‘𝑣))
16	11, 13, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓‘𝑣))
17		simplrr 801	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))
18		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) → 𝑔:𝑉⟶𝑅)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑔:𝑉⟶𝑅)
20	1, 2, 3	mrsubvr 31408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔‘𝑣))
21	19, 13, 14, 20	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔‘𝑣))
22	16, 21	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) ↔ (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
23	8, 22	syl5ib 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
24	23	ralrimdva 2969	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
25		fvres 6207	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))‘𝑓) = (𝑆‘𝑓))
26		fvres 6207	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘𝑔))
27	25, 26	eqeqan12d 2638	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉)) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔)))
28	27	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔)))
29		ffn 6045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝑉⟶𝑅 → 𝑓 Fn 𝑉)
30		ffn 6045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:𝑉⟶𝑅 → 𝑔 Fn 𝑉)
31		eqfnfv 6311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 Fn 𝑉 ∧ 𝑔 Fn 𝑉) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
32	29, 30, 31	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑔:𝑉⟶𝑅) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
33	10, 18, 32	syl2an 494	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
34	33	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
35	24, 28, 34	3imtr4d 283	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
36	35	ralrimivva 2971	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
37		dff13 6512	. 2 ⊢ ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉)):(𝑅 ↑𝑚 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑𝑚 𝑅) ↔ ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉)):(𝑅 ↑𝑚 𝑉)⟶(𝑅 ↑𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
38	7, 36, 37	sylanbrc 698	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑𝑚 𝑉)):(𝑅 ↑𝑚 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑𝑚 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912   ⊆ wss 3574   ↾ cres 5116   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  –1-1→wf1 5885  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857   ↑_pm cpm 7858  ⟨“cs1 13294  mVRcmvar 31358  mRExcmrex 31363  mRSubstcmrsub 31367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-frmd 17386  df-mrex 31383  df-mrsub 31387

This theorem is referenced by:  mrsubff1o  31412  msubff1  31453