Theorem mrsubff1 31411

Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubvr.v	|- V = (mVR ` T )
mrsubvr.r	|- R = (mREx ` T )
mrsubvr.s	|- S = (mRSubst ` T )

Assertion

Ref	Expression
mrsubff1	|- ( T e. W -> ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( R ^m R ) )

Proof of Theorem mrsubff1

Dummy variables f g v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrsubvr.v	. . . 4 |- V = (mVR ` T )
2		mrsubvr.r	. . . 4 |- R = (mREx ` T )
3		mrsubvr.s	. . . 4 |- S = (mRSubst ` T )
4	1, 2, 3	mrsubff 31409	. . 3 |- ( T e. W -> S : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )
5		mapsspm 7891	. . . 4 |- ( R ^m V ) C_ ( R ^pm V )
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( T e. W -> ( R ^m V ) C_ ( R ^pm V ) )
7	4, 6	fssresd 6071	. 2 |- ( T e. W -> ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) --> ( R ^m R ) )
8		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( ( S ` f ) = ( S ` g ) -> ( ( S ` f ) ` <" v "> ) = ( ( S ` g ) ` <" v "> ) )
9		simplrl 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. W /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> f e. ( R ^m V ) )
10		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( R ^m V ) -> f : V --> R )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. W /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> f : V --> R )
12		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- V C_ V
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. W /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> V C_ V )
14		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. W /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> v e. V )
15	1, 2, 3	mrsubvr 31408	. . . . . . . 8 |- ( ( f : V --> R /\ V C_ V /\ v e. V ) -> ( ( S ` f ) ` <" v "> ) = ( f ` v ) )
16	11, 13, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. W /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( S ` f ) ` <" v "> ) = ( f ` v ) )
17		simplrr 801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. W /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> g e. ( R ^m V ) )
18		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( R ^m V ) -> g : V --> R )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. W /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> g : V --> R )
20	1, 2, 3	mrsubvr 31408	. . . . . . . 8 |- ( ( g : V --> R /\ V C_ V /\ v e. V ) -> ( ( S ` g ) ` <" v "> ) = ( g ` v ) )
21	19, 13, 14, 20	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. W /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( S ` g ) ` <" v "> ) = ( g ` v ) )
22	16, 21	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. W /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( ( S ` f ) ` <" v "> ) = ( ( S ` g ) ` <" v "> ) <-> ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
23	8, 22	syl5ib 234	. . . . 5 |- ( ( ( T e. W /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( S ` f ) = ( S ` g ) -> ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
24	23	ralrimdva 2969	. . . 4 |- ( ( T e. W /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( S ` f ) = ( S ` g ) -> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
25		fvres 6207	. . . . . 6 |- ( f e. ( R ^m V ) -> ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( S ` f ) )
26		fvres 6207	. . . . . 6 |- ( g e. ( R ^m V ) -> ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) = ( S ` g ) )
27	25, 26	eqeqan12d 2638	. . . . 5 |- ( ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) -> ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> ( S ` f ) = ( S ` g ) ) )
28	27	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T e. W /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> ( S ` f ) = ( S ` g ) ) )
29		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( f : V --> R -> f Fn V )
30		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( g : V --> R -> g Fn V )
31		eqfnfv 6311	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn V /\ g Fn V ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
32	29, 30, 31	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( f : V --> R /\ g : V --> R ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
33	10, 18, 32	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
34	33	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T e. W /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
35	24, 28, 34	3imtr4d 283	. . 3 |- ( ( T e. W /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) -> f = g ) )
36	35	ralrimivva 2971	. 2 |- ( T e. W -> A. f e. ( R ^m V ) A. g e. ( R ^m V ) ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) -> f = g ) )
37		dff13 6512	. 2 |- ( ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( R ^m R ) <-> ( ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) --> ( R ^m R ) /\ A. f e. ( R ^m V ) A. g e. ( R ^m V ) ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) -> f = g ) ) )
38	7, 36, 37	sylanbrc 698	1 |- ( T e. W -> ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( R ^m R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ^pm cpm 7858   <"cs1 13294  mVRcmvar 31358  mRExcmrex 31363  mRSubstcmrsub 31367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-frmd 17386  df-mrex 31383  df-mrsub 31387

This theorem is referenced by:  mrsubff1o  31412  msubff1  31453