Theorem mzpcong 37539

Description: Polynomials commute with congruences. (Does this characterize them?) (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpcong	⊢ ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) → 𝑁 ∥ ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑋   𝑘,𝑉   𝑘,𝑌   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem mzpcong

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6221	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2	1	3anim1i 1248	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) → (𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))))
3		simp1 1061	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
4		simpl3l 1116	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		simpr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
6		congid 37538	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑏 − 𝑏))
7	4, 5, 6	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑏 − 𝑏))
8		simpl2l 1114	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
9		vex 3203	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
10	9	fvconst2 6469	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) = 𝑏)
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) = 𝑏)
12		simpl2r 1115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
13	9	fvconst2 6469	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌) = 𝑏)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌) = 𝑏)
15	11, 14	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)) = (𝑏 − 𝑏))
16	7, 15	breqtrrd 4681	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)))
17		simpr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝑉)
18		simpl3r 1117	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))
19		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑋‘𝑘) = (𝑋‘𝑏))
20		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑌‘𝑘) = (𝑌‘𝑏))
21	19, 20	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)) = ((𝑋‘𝑏) − (𝑌‘𝑏)))
22	21	breq2d 4665	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑏) − (𝑌‘𝑏))))
23	22	rspcva 3307	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘))) → 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑏) − (𝑌‘𝑏)))
24	17, 18, 23	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑏) − (𝑌‘𝑏)))
25		simpl2l 1114	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
26		fveq1 6190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝑐‘𝑏) = (𝑋‘𝑏))
27		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏)) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))
28		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋‘𝑏) ∈ V
29	26, 27, 28	fvmpt 6282	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑋) = (𝑋‘𝑏))
30	25, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑋) = (𝑋‘𝑏))
31		simpl2r 1115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
32		fveq1 6190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑌 → (𝑐‘𝑏) = (𝑌‘𝑏))
33		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌‘𝑏) ∈ V
34	32, 27, 33	fvmpt 6282	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑌) = (𝑌‘𝑏))
35	31, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑌) = (𝑌‘𝑏))
36	30, 35	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑌)) = ((𝑋‘𝑏) − (𝑌‘𝑏)))
37	24, 36	breqtrrd 4681	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∥ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑌)))
38		simp13l 1176	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		simp2l 1087	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
40		simp12l 1174	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
41	39, 40	ffvelrnd 6360	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → (𝑏‘𝑋) ∈ ℤ)
42		simp12r 1175	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
43	39, 42	ffvelrnd 6360	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → (𝑏‘𝑌) ∈ ℤ)
44		simp3l 1089	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
45	44, 40	ffvelrnd 6360	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → (𝑐‘𝑋) ∈ ℤ)
46	44, 42	ffvelrnd 6360	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → (𝑐‘𝑌) ∈ ℤ)
47		simp2r 1088	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌)))
48		simp3r 1090	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))
49		congadd 37533	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑏‘𝑌) ∈ ℤ) ∧ ((𝑐‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑐‘𝑌) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏‘𝑋) + (𝑐‘𝑋)) − ((𝑏‘𝑌) + (𝑐‘𝑌))))
50	38, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 49	syl322anc 1354	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏‘𝑋) + (𝑐‘𝑋)) − ((𝑏‘𝑌) + (𝑐‘𝑌))))
51		ffn 6045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ → 𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
52	39, 51	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
53		ffn 6045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ → 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
54	44, 53	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
55		ovexd 6680	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V)
56		fnfvof 6911	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏‘𝑋) + (𝑐‘𝑋)))
57	52, 54, 55, 40, 56	syl22anc 1327	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏‘𝑋) + (𝑐‘𝑋)))
58		fnfvof 6911	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏‘𝑌) + (𝑐‘𝑌)))
59	52, 54, 55, 42, 58	syl22anc 1327	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏‘𝑌) + (𝑐‘𝑌)))
60	57, 59	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → (((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑌)) = (((𝑏‘𝑋) + (𝑐‘𝑋)) − ((𝑏‘𝑌) + (𝑐‘𝑌))))
61	50, 60	breqtrrd 4681	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑌)))
62		congmul 37534	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑏‘𝑌) ∈ ℤ) ∧ ((𝑐‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑐‘𝑌) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏‘𝑋) · (𝑐‘𝑋)) − ((𝑏‘𝑌) · (𝑐‘𝑌))))
63	38, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 62	syl322anc 1354	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏‘𝑋) · (𝑐‘𝑋)) − ((𝑏‘𝑌) · (𝑐‘𝑌))))
64		fnfvof 6911	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏‘𝑋) · (𝑐‘𝑋)))
65	52, 54, 55, 40, 64	syl22anc 1327	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏‘𝑋) · (𝑐‘𝑋)))
66		fnfvof 6911	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏‘𝑌) · (𝑐‘𝑌)))
67	52, 54, 55, 42, 66	syl22anc 1327	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏‘𝑌) · (𝑐‘𝑌)))
68	65, 67	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → (((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑌)) = (((𝑏‘𝑋) · (𝑐‘𝑋)) − ((𝑏‘𝑌) · (𝑐‘𝑌))))
69	63, 68	breqtrrd 4681	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑌)))
70		fveq1 6190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → (𝑎‘𝑋) = (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋))
71		fveq1 6190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → (𝑎‘𝑌) = (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌))
72	70, 71	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) = ((((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)))
73	72	breq2d 4665	. . 3 ⊢ (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → (𝑁 ∥ ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌))))
74		fveq1 6190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏)) → (𝑎‘𝑋) = ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑋))
75		fveq1 6190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏)) → (𝑎‘𝑌) = ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑌))
76	74, 75	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏)) → ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) = (((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑌)))
77	76	breq2d 4665	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏)) → (𝑁 ∥ ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑌))))
78		fveq1 6190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘𝑋) = (𝑏‘𝑋))
79		fveq1 6190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘𝑌) = (𝑏‘𝑌))
80	78, 79	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) = ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌)))
81	80	breq2d 4665	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 ∥ ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))))
82		fveq1 6190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎‘𝑋) = (𝑐‘𝑋))
83		fveq1 6190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎‘𝑌) = (𝑐‘𝑌))
84	82, 83	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) = ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))
85	84	breq2d 4665	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑁 ∥ ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌))))
86		fveq1 6190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 + 𝑐) → (𝑎‘𝑋) = ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑋))
87		fveq1 6190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 + 𝑐) → (𝑎‘𝑌) = ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑌))
88	86, 87	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 + 𝑐) → ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) = (((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑌)))
89	88	breq2d 4665	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 + 𝑐) → (𝑁 ∥ ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑌))))
90		fveq1 6190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 · 𝑐) → (𝑎‘𝑋) = ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑋))
91		fveq1 6190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 · 𝑐) → (𝑎‘𝑌) = ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑌))
92	90, 91	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 · 𝑐) → ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) = (((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑌)))
93	92	breq2d 4665	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 · 𝑐) → (𝑁 ∥ ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑌))))
94		fveq1 6190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝑎‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))
95		fveq1 6190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝑎‘𝑌) = (𝐹‘𝑌))
96	94, 95	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌)))
97	96	breq2d 4665	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝑁 ∥ ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))))
98	16, 37, 61, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97	mzpindd 37309	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑁 ∥ ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌)))
99	2, 3, 98	syl2anc 693	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) → 𝑁 ∥ ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   ↑_𝑚 cmap 7857   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  ℤcz 11377   ∥ cdvds 14983  mzPolycmzp 37285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-dvds 14984  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287

This theorem is referenced by: (None)