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Theorem mzpcong 37539
Description: Polynomials commute with congruences. (Does this characterize them?) (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcong |- ( ( F e. (mzPoly ` V ) /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) -> N || ( ( F ` X ) - ( F ` Y ) ) )
Distinct variable groups:   k, X   k, V   k, Y   k, N
Allowed substitution hint:   F( k)
Proof of Theorem mzpcong
Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6221 . . 3 |- ( F e. (mzPoly ` V ) -> V e. _V )
213anim1i 1248 . 2 |- ( ( F e. (mzPoly ` V ) /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) -> ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) )
3 simp1 1061 . 2 |- ( ( F e. (mzPoly ` V ) /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) -> F e. (mzPoly ` V ) )
4 simpl3l 1116 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. ZZ ) -> N e. ZZ )
5 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. ZZ ) -> b e. ZZ )
6 congid 37538 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> N || ( b - b ) )
74, 5, 6syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. ZZ ) -> N || ( b - b ) )
8 simpl2l 1114 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. ZZ ) -> X e. ( ZZ ^m V ) )
9 vex 3203 . . . . . . 7 |- b e. _V
109fvconst2 6469 . . . . . 6 |- ( X e. ( ZZ ^m V ) -> ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` X ) = b )
118, 10syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. ZZ ) -> ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` X ) = b )
12 simpl2r 1115 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. ZZ ) -> Y e. ( ZZ ^m V ) )
139fvconst2 6469 . . . . . 6 |- ( Y e. ( ZZ ^m V ) -> ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` Y ) = b )
1412, 13syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. ZZ ) -> ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` Y ) = b )
1511, 14oveq12d 6668 . . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. ZZ ) -> ( ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` X ) - ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` Y ) ) = ( b - b ) )
167, 15breqtrrd 4681 . . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. ZZ ) -> N || ( ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` X ) - ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` Y ) ) )
17 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. V ) -> b e. V )
18 simpl3r 1117 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. V ) -> A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) )
19 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( k = b -> ( X ` k ) = ( X ` b ) )
20 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( k = b -> ( Y ` k ) = ( Y ` b ) )
2119, 20oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( k = b -> ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) = ( ( X ` b ) - ( Y ` b ) ) )
2221breq2d 4665 . . . . . 6 |- ( k = b -> ( N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) <-> N || ( ( X ` b ) - ( Y ` b ) ) ) )
2322rspcva 3307 . . . . 5 |- ( ( b e. V /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) -> N || ( ( X ` b ) - ( Y ` b ) ) )
2417, 18, 23syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. V ) -> N || ( ( X ` b ) - ( Y ` b ) ) )
25 simpl2l 1114 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. V ) -> X e. ( ZZ ^m V ) )
26 fveq1 6190 . . . . . . 7 |- ( c = X -> ( c ` b ) = ( X ` b ) )
27 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) = ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) )
28 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( X ` b ) e. _V
2926, 27, 28fvmpt 6282 . . . . . 6 |- ( X e. ( ZZ ^m V ) -> ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` X ) = ( X ` b ) )
3025, 29syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. V ) -> ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` X ) = ( X ` b ) )
31 simpl2r 1115 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. V ) -> Y e. ( ZZ ^m V ) )
32 fveq1 6190 . . . . . . 7 |- ( c = Y -> ( c ` b ) = ( Y ` b ) )
33 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( Y ` b ) e. _V
3432, 27, 33fvmpt 6282 . . . . . 6 |- ( Y e. ( ZZ ^m V ) -> ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` Y ) = ( Y ` b ) )
3531, 34syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. V ) -> ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` Y ) = ( Y ` b ) )
3630, 35oveq12d 6668 . . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. V ) -> ( ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` X ) - ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` Y ) ) = ( ( X ` b ) - ( Y ` b ) ) )
3724, 36breqtrrd 4681 . . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ b e. V ) -> N || ( ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` X ) - ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` Y ) ) )
38 simp13l 1176 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> N e. ZZ )
39 simp2l 1087 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
40 simp12l 1174 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> X e. ( ZZ ^m V ) )
4139, 40ffvelrnd 6360 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> ( b ` X ) e. ZZ )
42 simp12r 1175 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> Y e. ( ZZ ^m V ) )
4339, 42ffvelrnd 6360 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> ( b ` Y ) e. ZZ )
44 simp3l 1089 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
4544, 40ffvelrnd 6360 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> ( c ` X ) e. ZZ )
4644, 42ffvelrnd 6360 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> ( c ` Y ) e. ZZ )
47 simp2r 1088 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) )
48 simp3r 1090 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) )
49 congadd 37533 . . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ ( b ` X ) e. ZZ /\ ( b ` Y ) e. ZZ ) /\ ( ( c ` X ) e. ZZ /\ ( c ` Y ) e. ZZ ) /\ ( N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> N || ( ( ( b ` X ) + ( c ` X ) ) - ( ( b ` Y ) + ( c ` Y ) ) ) )
5038, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 49syl322anc 1354 . . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> N || ( ( ( b ` X ) + ( c ` X ) ) - ( ( b ` Y ) + ( c ` Y ) ) ) )
51 ffn 6045 . . . . . . 7 |- ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ -> b Fn ( ZZ ^m V ) )
5239, 51syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> b Fn ( ZZ ^m V ) )
53 ffn 6045 . . . . . . 7 |- ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ -> c Fn ( ZZ ^m V ) )
5444, 53syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> c Fn ( ZZ ^m V ) )
55 ovexd 6680 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> ( ZZ ^m V ) e. _V )
56 fnfvof 6911 . . . . . 6 |- ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( ZZ ^m V ) e. _V /\ X e. ( ZZ ^m V ) ) ) -> ( ( b oF + c ) ` X ) = ( ( b ` X ) + ( c ` X ) ) )
5752, 54, 55, 40, 56syl22anc 1327 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> ( ( b oF + c ) ` X ) = ( ( b ` X ) + ( c ` X ) ) )
58 fnfvof 6911 . . . . . 6 |- ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( ZZ ^m V ) e. _V /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) ) -> ( ( b oF + c ) ` Y ) = ( ( b ` Y ) + ( c ` Y ) ) )
5952, 54, 55, 42, 58syl22anc 1327 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> ( ( b oF + c ) ` Y ) = ( ( b ` Y ) + ( c ` Y ) ) )
6057, 59oveq12d 6668 . . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> ( ( ( b oF + c ) ` X ) - ( ( b oF + c ) ` Y ) ) = ( ( ( b ` X ) + ( c ` X ) ) - ( ( b ` Y ) + ( c ` Y ) ) ) )
6150, 60breqtrrd 4681 . . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> N || ( ( ( b oF + c ) ` X ) - ( ( b oF + c ) ` Y ) ) )
62 congmul 37534 . . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ ( b ` X ) e. ZZ /\ ( b ` Y ) e. ZZ ) /\ ( ( c ` X ) e. ZZ /\ ( c ` Y ) e. ZZ ) /\ ( N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> N || ( ( ( b ` X ) x. ( c ` X ) ) - ( ( b ` Y ) x. ( c ` Y ) ) ) )
6338, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 62syl322anc 1354 . . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> N || ( ( ( b ` X ) x. ( c ` X ) ) - ( ( b ` Y ) x. ( c ` Y ) ) ) )
64 fnfvof 6911 . . . . . 6 |- ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( ZZ ^m V ) e. _V /\ X e. ( ZZ ^m V ) ) ) -> ( ( b oF x. c ) ` X ) = ( ( b ` X ) x. ( c ` X ) ) )
6552, 54, 55, 40, 64syl22anc 1327 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> ( ( b oF x. c ) ` X ) = ( ( b ` X ) x. ( c ` X ) ) )
66 fnfvof 6911 . . . . . 6 |- ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( ZZ ^m V ) e. _V /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) ) -> ( ( b oF x. c ) ` Y ) = ( ( b ` Y ) x. ( c ` Y ) ) )
6752, 54, 55, 42, 66syl22anc 1327 . . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> ( ( b oF x. c ) ` Y ) = ( ( b ` Y ) x. ( c ` Y ) ) )
6865, 67oveq12d 6668 . . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> ( ( ( b oF x. c ) ` X ) - ( ( b oF x. c ) ` Y ) ) = ( ( ( b ` X ) x. ( c ` X ) ) - ( ( b ` Y ) x. ( c ` Y ) ) ) )
6963, 68breqtrrd 4681 . . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) ) -> N || ( ( ( b oF x. c ) ` X ) - ( ( b oF x. c ) ` Y ) ) )
70 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) -> ( a ` X ) = ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` X ) )
71 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) -> ( a ` Y ) = ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` Y ) )
7270, 71oveq12d 6668 . . . 4 |- ( a = ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) -> ( ( a ` X ) - ( a ` Y ) ) = ( ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` X ) - ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` Y ) ) )
7372breq2d 4665 . . 3 |- ( a = ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) -> ( N || ( ( a ` X ) - ( a ` Y ) ) <-> N || ( ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` X ) - ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` Y ) ) ) )
74 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) -> ( a ` X ) = ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` X ) )
75 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) -> ( a ` Y ) = ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` Y ) )
7674, 75oveq12d 6668 . . . 4 |- ( a = ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) -> ( ( a ` X ) - ( a ` Y ) ) = ( ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` X ) - ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` Y ) ) )
7776breq2d 4665 . . 3 |- ( a = ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) -> ( N || ( ( a ` X ) - ( a ` Y ) ) <-> N || ( ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` X ) - ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` Y ) ) ) )
78 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = b -> ( a ` X ) = ( b ` X ) )
79 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = b -> ( a ` Y ) = ( b ` Y ) )
8078, 79oveq12d 6668 . . . 4 |- ( a = b -> ( ( a ` X ) - ( a ` Y ) ) = ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) )
8180breq2d 4665 . . 3 |- ( a = b -> ( N || ( ( a ` X ) - ( a ` Y ) ) <-> N || ( ( b ` X ) - ( b ` Y ) ) ) )
82 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = c -> ( a ` X ) = ( c ` X ) )
83 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = c -> ( a ` Y ) = ( c ` Y ) )
8482, 83oveq12d 6668 . . . 4 |- ( a = c -> ( ( a ` X ) - ( a ` Y ) ) = ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) )
8584breq2d 4665 . . 3 |- ( a = c -> ( N || ( ( a ` X ) - ( a ` Y ) ) <-> N || ( ( c ` X ) - ( c ` Y ) ) ) )
86 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = ( b oF + c ) -> ( a ` X ) = ( ( b oF + c ) ` X ) )
87 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = ( b oF + c ) -> ( a ` Y ) = ( ( b oF + c ) ` Y ) )
8886, 87oveq12d 6668 . . . 4 |- ( a = ( b oF + c ) -> ( ( a ` X ) - ( a ` Y ) ) = ( ( ( b oF + c ) ` X ) - ( ( b oF + c ) ` Y ) ) )
8988breq2d 4665 . . 3 |- ( a = ( b oF + c ) -> ( N || ( ( a ` X ) - ( a ` Y ) ) <-> N || ( ( ( b oF + c ) ` X ) - ( ( b oF + c ) ` Y ) ) ) )
90 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = ( b oF x. c ) -> ( a ` X ) = ( ( b oF x. c ) ` X ) )
91 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = ( b oF x. c ) -> ( a ` Y ) = ( ( b oF x. c ) ` Y ) )
9290, 91oveq12d 6668 . . . 4 |- ( a = ( b oF x. c ) -> ( ( a ` X ) - ( a ` Y ) ) = ( ( ( b oF x. c ) ` X ) - ( ( b oF x. c ) ` Y ) ) )
9392breq2d 4665 . . 3 |- ( a = ( b oF x. c ) -> ( N || ( ( a ` X ) - ( a ` Y ) ) <-> N || ( ( ( b oF x. c ) ` X ) - ( ( b oF x. c ) ` Y ) ) ) )
94 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = F -> ( a ` X ) = ( F ` X ) )
95 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = F -> ( a ` Y ) = ( F ` Y ) )
9694, 95oveq12d 6668 . . . 4 |- ( a = F -> ( ( a ` X ) - ( a ` Y ) ) = ( ( F ` X ) - ( F ` Y ) ) )
9796breq2d 4665 . . 3 |- ( a = F -> ( N || ( ( a ` X ) - ( a ` Y ) ) <-> N || ( ( F ` X ) - ( F ` Y ) ) ) )
9816, 37, 61, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97mzpindd 37309 . 2 |- ( ( ( V e. _V /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) /\ F e. (mzPoly ` V ) ) -> N || ( ( F ` X ) - ( F ` Y ) ) )
992, 3, 98syl2anc 693 1 |- ( ( F e. (mzPoly ` V ) /\ ( X e. ( ZZ ^m V ) /\ Y e. ( ZZ ^m V ) ) /\ ( N e. ZZ /\ A. k e. V N || ( ( X ` k ) - ( Y ` k ) ) ) ) -> N || ( ( F ` X ) - ( F ` Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   ZZcz 11377   || cdvds 14983  mzPolycmzp 37285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-dvds 14984  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287
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