Theorem mzpindd 37309

Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mzpindd.co	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
mzpindd.pr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
mzpindd.ad	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
mzpindd.mu	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
mzpindd.1	⊢ (𝑥 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓 ↔ 𝜒))
mzpindd.2	⊢ (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝜓 ↔ 𝜃))
mzpindd.3	⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝜓 ↔ 𝜏))
mzpindd.4	⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝜓 ↔ 𝜂))
mzpindd.5	⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜁))
mzpindd.6	⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜎))
mzpindd.7	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜌))

Assertion

Ref	Expression
mzpindd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑓,𝑔   𝜓,𝑓,𝑔   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜁,𝑥   𝜎,𝑥   𝜌,𝑥   𝑥,𝑉,𝑓,𝑔   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑓,𝑔)   𝜃(𝑓,𝑔)   𝜏(𝑓,𝑔)   𝜂(𝑓,𝑔)   𝜁(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑓,𝑔)   𝜌(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mzpindd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
3		mzpval 37295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
4	3	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
5		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉))
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
7		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V
8		zex 11386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℤ ∈ V
9	7, 8	constmap 37276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
11		mzpindd.co	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
12		mzpindd.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓 ↔ 𝜒))
13	12	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜒))
14	10, 11, 13	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
15	14	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
17	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → ℤ ∈ V)
18		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
19		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
20		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝑔:𝑉⟶ℤ))
21	20	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
22	17, 18, 19, 21	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
23		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑉)
24	22, 23	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
25		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓))
26	24, 25	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
27	8, 7	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
28	26, 27	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
29		mzpindd.pr	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
30	29	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
31		mzpindd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝜓 ↔ 𝜃))
32	31	elrab 3363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜃))
33	28, 30, 32	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
34	33	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
35	16, 34	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
36		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
38		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
39		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
40	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V)
41		inidm 3822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∩ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) = (ℤ ↑𝑚 𝑉)
42	37, 38, 39, 40, 40, 41	off 6912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
43	42	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
45		mzpindd.ad	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
46	45	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜁)
47	44, 46	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
48		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
50	49, 38, 39, 40, 40, 41	off 6912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
51	50	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
53		mzpindd.mu	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
54	53	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜎)
55	47, 52, 54	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
56	55	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))))
57	8, 7	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
58	57	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ↔ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏))
59	8, 7	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
60	59	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂) ↔ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))
61	58, 60	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)) ↔ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)))
62	8, 7	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
63	62	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ↔ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
64	8, 7	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
65	64	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎) ↔ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))
66	63, 65	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎)) ↔ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
67	56, 61, 66	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)) → (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎))))
68		mzpindd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝜓 ↔ 𝜏))
69	68	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏))
70		mzpindd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝜓 ↔ 𝜂))
71	70	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂))
72	69, 71	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)))
73		mzpindd.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜁))
74	73	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁))
75		mzpindd.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜎))
76	75	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎))
77	74, 76	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎)))
78	67, 72, 77	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))
79	78	ralrimivv 2970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
80	79	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
81	6, 35, 80	jca32 558	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))))
82		elmzpcl 37289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
83	82	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
84	81, 83	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
85		intss1 4492	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
86	84, 85	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
87	4, 86	eqsstrd 3639	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
88	87	sselda 3603	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
89	88	an32s 846	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
90	2, 89	mpdan 702	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
91		mzpindd.7	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜌))
92	91	elrab 3363	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜌))
93	92	simprbi 480	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} → 𝜌)
94	90, 93	syl 17	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ∩ cint 4475   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   ↑_𝑚 cmap 7857   + caddc 9939   · cmul 9941  ℤcz 11377  mzPolyCldcmzpcl 37284  mzPolycmzp 37285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287

This theorem is referenced by:  mzpmfp  37310  mzpsubst  37311  mzpcompact2lem  37314  mzpcong  37539