Theorem sralem 19177

Description: Lemma for srabase 19178 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralem.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
sralem.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
sralem.3	⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
sralem	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Proof of Theorem sralem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2	1	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
3		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4		sraval 19176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
5	3, 4	sylan2 491	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
6	2, 5	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
7	6	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
8		sralem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
9		sralem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10	8, 9	ndxid 15883	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11		sralem.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
12	9	nnrei 11029	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
13		5re 11099	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
14	12, 13	ltnei 10161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
15	14	necomd 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
16		5lt8 11217	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 < 8
17		8re 11105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
18	13, 17, 12	lttri 10163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
19	16, 18	mpan 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
20	13, 12	ltnei 10161	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
22	15, 21	jaoi 394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
23	11, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 5
24	8, 9	ndxarg 15882	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
25		scandx 16013	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
26	24, 25	neeq12i 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
27	23, 26	mpbir 221	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
28	10, 27	setsnid 15915	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩))
29		5lt6 11204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 6
30		6re 11101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
31	12, 13, 30	lttri 10163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
32	29, 31	mpan2 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
33	12, 30	ltnei 10161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
35	34	necomd 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
36		6lt8 11216	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 < 8
37	30, 17, 12	lttri 10163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
38	36, 37	mpan 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
39	30, 12	ltnei 10161	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
41	35, 40	jaoi 394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
42	11, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 6
43		vscandx 16015	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
44	24, 43	neeq12i 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
45	42, 44	mpbir 221	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
46	10, 45	setsnid 15915	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
47	12, 13, 17	lttri 10163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
48	16, 47	mpan2 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
49	12, 17	ltnei 10161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
51	50	necomd 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
52	17, 12	ltnei 10161	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 8)
53	51, 52	jaoi 394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
54	11, 53	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 8
55		ipndx 16022	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
56	24, 55	neeq12i 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
57	54, 56	mpbir 221	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
58	10, 57	setsnid 15915	. . . 4 ⊢ (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
59	28, 46, 58	3eqtri 2648	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
60	7, 59	syl6reqr 2675	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
61	8	str0 15911	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
62		fvprc 6185	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
63	62	adantr 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = ∅)
64		fvprc 6185	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (subringAlg ‘𝑊) = ∅)
65	64	fveq1d 6193	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (∅‘𝑆))
66		0fv 6227	. . . . . 6 ⊢ (∅‘𝑆) = ∅
67	65, 66	syl6eq 2672	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
68	1, 67	sylan9eqr 2678	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
69	68	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘∅))
70	61, 63, 69	3eqtr4a 2682	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
71	60, 70	pm2.61ian 831	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   < clt 10074  ℕcn 11020  5c5 11073  6c6 11074  8c8 11076  ndxcnx 15854   sSet csts 15855  Slot cslot 15856  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  ._rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  ·_𝑖cip 15946  subringAlg csra 19168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-sets 15864  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-sra 19172

This theorem is referenced by:  srabase  19178  sraaddg  19179  sramulr  19180  sratset  19184  srads  19186  cchhllem  25767