Theorem cchhllem 25767

Description: Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cchhl.c	⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
cchhllem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
cchhllem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
cchhllem.4	⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
cchhllem	⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cchhllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cchhllem.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		cchhllem.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 15883	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		cchhllem.4	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
5		5lt8 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 < 8
6	2	nnrei 11029	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
7		5re 11099	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		8re 11105	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ
9	6, 7, 8	lttri 10163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
10	5, 9	mpan2 707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
11	6, 8	ltnei 10161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
13	12	necomd 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
14	8, 6	ltnei 10161	. . . . . 6 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 8)
15	13, 14	jaoi 394	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
16	4, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 8
17	1, 2	ndxarg 15882	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
18		ipndx 16022	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
19	17, 18	neeq12i 2860	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
20	16, 19	mpbir 221	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
21	3, 20	setsnid 15915	. 2 ⊢ (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
22		eqidd 2623	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
23		ax-resscn 9993	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
24		cnfldbas 19750	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	23, 24	sseqtri 3637	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
27	22, 26, 1, 2, 4	sralem 19177	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
28	27	trud 1493	. 2 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
29		cchhl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
30	29	fveq2i 6194	. 2 ⊢ (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
31	21, 28, 30	3eqtr4i 2654	1 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Syntax hints:   ∨ wo 383   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ⊆ wss 3574  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  ℂcc 9934  ℝcr 9935   · cmul 9941   < clt 10074  ℕcn 11020  5c5 11073  8c8 11076  ∗ccj 13836  ndxcnx 15854   sSet csts 15855  Slot cslot 15856  Basecbs 15857  ·_𝑖cip 15946  subringAlg csra 19168  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-sra 19172  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by: (None)