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Theorem opphl 25646

Description: If two points 𝐴 and 𝐶 lie on the opposite side of a line 𝐷 then any point of the half line (𝑅 𝐴) also lies opposite to 𝐶. Theorem 9.5 of [Schwabhauser] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
opphl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
opphl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
opphl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
opphl.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
opphl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝑅)𝐵)

**Assertion**
Ref	Expression
opphl	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Distinct variable groups: 𝐷,𝑎,𝑏 𝐼,𝑎,𝑏 𝑃,𝑎,𝑏 𝑡,𝐴 𝑡,𝐵 𝑡,𝐷 𝑡,𝑅 𝑡,𝐶 𝑡,𝐺 𝑡,𝐿 𝑡,𝐼 𝑡,𝐾 𝑡,𝑂 𝑡,𝑃 𝜑,𝑡 𝑡, − 𝑡,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑎,𝑏) 𝐴(𝑎,𝑏) 𝐵(𝑎,𝑏) 𝐶(𝑎,𝑏) 𝑅(𝑎,𝑏) 𝐺(𝑎,𝑏) 𝐾(𝑎,𝑏) 𝐿(𝑎,𝑏) − (𝑎,𝑏) 𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphl Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpg.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		hpg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hpg.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		opphl.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		opphl.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7	6	ad8antr 776	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		opphl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad8antr 776	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		opphl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
11		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑚)
12		opphl.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
13	12	ad8antr 776	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
14		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
15		simp-4r 807	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑚 ∈ 𝑃)
16		opphl.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	16	ad8antr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	1, 2, 3, 5, 14, 9, 15, 11, 17	mircl 25556	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ∈ 𝑃)
19		simplr 792	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
20		simp-6r 811	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐷)
21		opphl.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
22	21	ad8antr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑅 ∈ 𝐷)
23		opphl.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
24	23	ad8antr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
25		simp-8r 815	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
26		opphl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
27	26	ad8antr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
28		simp-7r 813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
29	5, 9, 28	perpln1 25605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
30	1, 2, 3, 5, 9, 29, 7, 28	perpcom 25608	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
31		simp-5r 809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
32	5, 9, 31	perpln1 25605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧) ∈ ran 𝐿)
33	1, 2, 3, 5, 9, 32, 7, 31	perpcom 25608	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑧))
34	1, 5, 3, 9, 7, 25	tglnpt 25444	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
35	1, 3, 5, 9, 17, 34, 29	tglnne 25523	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴 ≠ 𝑥)
36	1, 3, 10, 17, 17, 34, 9, 35	hlid 25504	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴(𝐾‘𝑥)𝐴)
37		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥))
38	37	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥) = 𝑧)
39	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 17, 24, 25, 20, 15, 27, 30, 33, 17, 38	opphllem6 25644	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴(𝐾‘𝑥)𝐴 ↔ (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)(𝐾‘𝑧)𝐶))
40	36, 39	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)(𝐾‘𝑧)𝐶)
41	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 17, 24, 25, 20, 15, 27, 30, 33, 17, 18, 36, 40	opphllem5 25643	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
42	38, 20	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥) ∈ 𝐷)
43	1, 2, 3, 5, 14, 9, 11, 7, 15, 25, 42	mirln2 25572	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑚 ∈ 𝐷)
44	1, 2, 3, 5, 14, 9, 15, 11, 17	mirmir 25557	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)) = 𝐴)
45	44	eqcomd 2628	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)))
46	1, 5, 3, 8, 6, 21	tglnpt 25444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
47		opphl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝑅)𝐵)
48	1, 3, 10, 16, 12, 46, 8, 47	hlne1 25500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅)
49	48	ad8antr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴 ≠ 𝑅)
50	1, 3, 10, 16, 12, 46, 8, 5, 47	hlln 25502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
51	1, 5, 3, 8, 12, 46, 50	tglngne 25445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
52	51	ad8antr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵 ≠ 𝑅)
53	1, 3, 10, 16, 12, 46, 8	ishlg 25497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝑅)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝐵 ≠ 𝑅 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))))
54	47, 53	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝐵 ≠ 𝑅 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))))
55	54	simp3d 1075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
56	55	ad8antr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
57	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 17, 13, 18, 22, 41, 43, 45, 49, 52, 56	opphllem2 25640	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
58		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
59	5, 9, 58	perpln1 25605	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐵𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
60	1, 2, 3, 5, 9, 59, 7, 58	perpcom 25608	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑦))
61	1, 5, 3, 9, 7, 20	tglnpt 25444	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
62	1, 3, 10, 18, 24, 61, 9, 40	hlne1 25500	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ≠ 𝑧)
63	1, 3, 10, 18, 24, 61, 9, 5, 40	hlln 25502	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ∈ (𝐶𝐿𝑧))
64	1, 5, 3, 9, 24, 61, 63	tglngne 25445	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶 ≠ 𝑧)
65	1, 3, 5, 9, 24, 61, 64	tglinerflx2 25529	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐿𝑧))
66	1, 3, 5, 9, 18, 61, 62, 62, 32, 63, 65	tglinethru 25531	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)𝐿𝑧))
67	33, 66	breqtrd 4679	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)((((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)𝐿𝑧))
68	1, 5, 3, 9, 7, 19	tglnpt 25444	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑦 ∈ 𝑃)
69	1, 3, 5, 9, 13, 68, 59	tglnne 25523	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵 ≠ 𝑦)
70	1, 3, 10, 13, 17, 68, 9, 69	hlid 25504	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵(𝐾‘𝑦)𝐵)
71	1, 3, 10, 18, 24, 61, 9, 40	hlcomd 25499	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶(𝐾‘𝑧)(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
72	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 18, 19, 20, 15, 57, 60, 67, 13, 24, 70, 71	opphllem5 25643	. . . . 5 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
73	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26	oppne1 25633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
74	50	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
75	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
76	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
77	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ 𝑃)
78	51	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝑅)
79	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
80		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝐷)
81	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ 𝐷)
82	1, 3, 5, 75, 76, 77, 78, 78, 79, 80, 81	tglinethru 25531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
83	74, 82	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
84	73, 83	mtand 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
85	1, 2, 3, 5, 8, 6, 12, 84	footex 25613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
86	85	ad6antr 772	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
87	72, 86	r19.29a 3078	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) → 𝐵𝑂𝐶)
88	8	ad4antr 768	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
89	6	ad4antr 768	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
90		simp-4r 807	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
91	1, 5, 3, 88, 89, 90	tglnpt 25444	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
92		simplr 792	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐷)
93	1, 5, 3, 88, 89, 92	tglnpt 25444	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
94	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26	opptgdim2 25637	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
95	94	ad4antr 768	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
96	1, 2, 3, 5, 88, 14, 91, 93, 95	midex 25629	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∃𝑚 ∈ 𝑃 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥))
97	87, 96	r19.29a 3078	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
98	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26	oppne2 25634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
99	1, 2, 3, 5, 8, 6, 23, 98	footex 25613	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
100	99	ad2antrr 762	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
101	97, 100	r19.29a 3078	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
102	1, 2, 3, 5, 8, 6, 16, 73	footex 25613	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
103	101, 102	r19.29a 3078	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∨ wo 383 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∃wrex 2913 ∖ cdif 3571 class class class wbr 4653 {copab 4712 ran crn 5115 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 2c2 11070 Basecbs 15857 distcds 15950 TarskiGcstrkg 25329 Dim_TarskiG≥cstrkgld 25333 Itvcitv 25335 LineGclng 25336 hlGchlg 25495 pInvGcmir 25547 ⟂Gcperpg 25590

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-concat 13301 df-s1 13302 df-s2 13593 df-s3 13594 df-trkgc 25347 df-trkgb 25348 df-trkgcb 25349 df-trkgld 25351 df-trkg 25352 df-cgrg 25406 df-leg 25478 df-hlg 25496 df-mir 25548 df-rag 25589 df-perpg 25591

This theorem is referenced by: outpasch 25647 lnopp2hpgb 25655

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