Theorem prprrab 13255

Description: The set of proper pairs of elements of a given set expressed in two ways. (Contributed by AV, 24-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prprrab	⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem prprrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ne0 11113	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
2	1	neii 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 2 = 0
3		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑥) = 2 → ((#‘𝑥) = 0 ↔ 2 = 0))
4	2, 3	mtbiri 317	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑥) = 2 → ¬ (#‘𝑥) = 0)
5		vex 3203	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		hasheq0 13154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((#‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
7	6	bicomd 213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 = ∅ ↔ (#‘𝑥) = 0))
8	7	necon3abid 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ (#‘𝑥) = 0))
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ (#‘𝑥) = 0)
10	4, 9	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑥) = 2 → 𝑥 ≠ ∅)
11	10	biantrud 528	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑥) = 2 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅)))
12		eldifsn 4317	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
13	11, 12	syl6bbr 278	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑥) = 2 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
14	13	pm5.32ri 670	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑥) = 2) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (#‘𝑥) = 2))
15	14	abbii 2739	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑥) = 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (#‘𝑥) = 2)}
16		df-rab 2921	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑥) = 2)}
17		df-rab 2921	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (#‘𝑥) = 2)}
18	15, 16, 17	3eqtr4ri 2655	1 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 2}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cab 2608   ≠ wne 2794  {crab 2916  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  ‘cfv 5888  0cc0 9936  2c2 11070  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  isumgrs  25991  isusgrs  26051  usgrumgruspgr  26075  subumgredg2  26177  konigsbergssiedgw  27111