Theorem psrbagev1 19510

Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagev1.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x	⊢ · = (.g‘𝑇)
psrbagev1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
psrbagev1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
psrbagev1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
psrbagev1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
psrbagev1	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐺(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrbagev1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagev1.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
2		cmnmnd 18208	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
4		psrbagev1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
5		psrbagev1.x	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑇)
6	4, 5	mulgnn0cl 17558	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
7	6	3expb 1266	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
8	3, 7	sylan 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
9		psrbagev1.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
10		psrbagev1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
11		psrbagev1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12	11	psrbagf 19365	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
13	9, 10, 12	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
14		psrbagev1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
15		inidm 3822	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16	8, 13, 14, 9, 9, 15	off 6912	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺):𝐼⟶𝐶)
17		ovexd 6680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V)
18		ffn 6045	. . . . . 6 ⊢ (𝐵:𝐼⟶ℕ0 → 𝐵 Fn 𝐼)
19	13, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Fn 𝐼)
20		ffn 6045	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐼⟶𝐶 → 𝐺 Fn 𝐼)
21	14, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
22	19, 21, 9, 9, 15	offn 6908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼)
23		fnfun 5988	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼 → Fun (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺))
24	22, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺))
25		psrbagev1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
26		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑇) ∈ V
27	25, 26	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
29	11	psrbagfsupp 19509	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 finSupp 0)
30	10, 9, 29	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 finSupp 0)
31	30	fsuppimpd 8282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
32		ssid 3624	. . . . 5 ⊢ (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
34	4, 25, 5	mulg0 17546	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
35	34	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
36		c0ex 10034	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
38	33, 35, 13, 14, 9, 37	suppssof1 7328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
39		suppssfifsupp 8290	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
40	17, 24, 28, 31, 38, 39	syl32anc 1334	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
41	16, 40	jca 554	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117  Fun wfun 5882   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   supp csupp 7295   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275  0cc0 9936  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  0_gc0g 16100  Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  psrbagev2  19511  evlslem1  19515