Theorem psrbagev1 19510

Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagev1.d	|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
psrbagev1.c	|- C = ( Base ` T )
psrbagev1.x	|- .x. = (.g ` T )
psrbagev1.z	|- .0. = ( 0g ` T )
psrbagev1.t	|- ( ph -> T e. CMnd )
psrbagev1.b	|- ( ph -> B e. D )
psrbagev1.g	|- ( ph -> G : I --> C )
psrbagev1.i	|- ( ph -> I e. _V )

Assertion

Ref	Expression
psrbagev1	|- ( ph -> ( ( B oF .x. G ) : I --> C /\ ( B oF .x. G ) finSupp .0. ) )

Distinct variable groups:   B, h   h, I

Allowed substitution hints:   ph( h)   C( h)   D( h)   T( h)   .x. ( h)   G( h)   .0. ( h)

Proof of Theorem psrbagev1

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagev1.t	. . . . 5 |- ( ph -> T e. CMnd )
2		cmnmnd 18208	. . . . 5 |- ( T e. CMnd -> T e. Mnd )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> T e. Mnd )
4		psrbagev1.c	. . . . . 6 |- C = ( Base ` T )
5		psrbagev1.x	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` T )
6	4, 5	mulgnn0cl 17558	. . . . 5 |- ( ( T e. Mnd /\ y e. NN0 /\ z e. C ) -> ( y .x. z ) e. C )
7	6	3expb 1266	. . . 4 |- ( ( T e. Mnd /\ ( y e. NN0 /\ z e. C ) ) -> ( y .x. z ) e. C )
8	3, 7	sylan 488	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. NN0 /\ z e. C ) ) -> ( y .x. z ) e. C )
9		psrbagev1.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. _V )
10		psrbagev1.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. D )
11		psrbagev1.d	. . . . 5 |- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
12	11	psrbagf 19365	. . . 4 |- ( ( I e. _V /\ B e. D ) -> B : I --> NN0 )
13	9, 10, 12	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> B : I --> NN0 )
14		psrbagev1.g	. . 3 |- ( ph -> G : I --> C )
15		inidm 3822	. . 3 |- ( I i^i I ) = I
16	8, 13, 14, 9, 9, 15	off 6912	. 2 |- ( ph -> ( B oF .x. G ) : I --> C )
17		ovexd 6680	. . 3 |- ( ph -> ( B oF .x. G ) e. _V )
18		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( B : I --> NN0 -> B Fn I )
19	13, 18	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> B Fn I )
20		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( G : I --> C -> G Fn I )
21	14, 20	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> G Fn I )
22	19, 21, 9, 9, 15	offn 6908	. . . 4 |- ( ph -> ( B oF .x. G ) Fn I )
23		fnfun 5988	. . . 4 |- ( ( B oF .x. G ) Fn I -> Fun ( B oF .x. G ) )
24	22, 23	syl 17	. . 3 |- ( ph -> Fun ( B oF .x. G ) )
25		psrbagev1.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` T )
26		fvex 6201	. . . . 5 |- ( 0g ` T ) e. _V
27	25, 26	eqeltri 2697	. . . 4 |- .0. e. _V
28	27	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> .0. e. _V )
29	11	psrbagfsupp 19509	. . . . 5 |- ( ( B e. D /\ I e. _V ) -> B finSupp 0 )
30	10, 9, 29	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> B finSupp 0 )
31	30	fsuppimpd 8282	. . 3 |- ( ph -> ( B supp 0 ) e. Fin )
32		ssid 3624	. . . . 5 |- ( B supp 0 ) C_ ( B supp 0 )
33	32	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( B supp 0 ) C_ ( B supp 0 ) )
34	4, 25, 5	mulg0 17546	. . . . 5 |- ( z e. C -> ( 0 .x. z ) = .0. )
35	34	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( 0 .x. z ) = .0. )
36		c0ex 10034	. . . . 5 |- 0 e. _V
37	36	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. _V )
38	33, 35, 13, 14, 9, 37	suppssof1 7328	. . 3 |- ( ph -> ( ( B oF .x. G ) supp .0. ) C_ ( B supp 0 ) )
39		suppssfifsupp 8290	. . 3 |- ( ( ( ( B oF .x. G ) e. _V /\ Fun ( B oF .x. G ) /\ .0. e. _V ) /\ ( ( B supp 0 ) e. Fin /\ ( ( B oF .x. G ) supp .0. ) C_ ( B supp 0 ) ) ) -> ( B oF .x. G ) finSupp .0. )
40	17, 24, 28, 31, 38, 39	syl32anc 1334	. 2 |- ( ph -> ( B oF .x. G ) finSupp .0. )
41	16, 40	jca 554	1 |- ( ph -> ( ( B oF .x. G ) : I --> C /\ ( B oF .x. G ) finSupp .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   0cc0 9936   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  psrbagev2  19511  evlslem1  19515