Theorem quotlem 24055

Description: Lemma for properties of the polynomial quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
quotlem.8	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))

Assertion

Ref	Expression
quotlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem quotlem

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plydiv.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plydiv.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
4		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))
5	4	quotval 24047	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
7		plydiv.pl	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8		plydiv.tm	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
9		plydiv.rc	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
10		plydiv.m1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
11	7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4	plydivalg 24054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
12		reurex 3160	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
14		addcl 10018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
15	14	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
16		mulcl 10020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
17	16	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
18		reccl 10692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
19	18	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
20		neg1cn 11124	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22		plyssc 23956	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
23	22, 1	sseldi 3601	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
24	22, 2	sseldi 3601	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
25	15, 17, 19, 21, 23, 24, 3, 4	plydivalg 24054	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
26		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
27	26	rgenw 2924	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
28		riotass2 6638	. . . . . 6 ⊢ ((((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
29	22, 27, 28	mpanl12 718	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
30	13, 25, 29	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
31	6, 30	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
32		riotacl2 6624	. . . 4 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
33	11, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
34	31, 33	eqeltrd 2701	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
35		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞) = (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))
36	35	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))))
37		quotlem.8	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))
38	36, 37	syl6eqr 2674	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 𝑅)
39	38	eqeq1d 2624	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ 𝑅 = 0𝑝))
40	38	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
41	40	breq1d 4663	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
42	39, 41	orbi12d 746	. . 3 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
43	42	elrab 3363	. 2 ⊢ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))} ↔ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
44	34, 43	sylib 208	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ∃!wreu 2914  {crab 2916   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  ℩crio 6610  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  0_𝑝c0p 23436  Polycply 23940  degcdgr 23943   quot cquot 24045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-quot 24046

This theorem is referenced by:  quotcl  24056  quotdgr  24058