Theorem rdivmuldivd 29791

Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
dvrdir.t	⊢ / = (/r‘𝑅)
rdivmuldivd.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
rdivmuldivd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.b	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
rdivmuldivd.c	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.d	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rdivmuldivd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem rdivmuldivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdivmuldivd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		rdivmuldivd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
3		dvrdir.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		rdivmuldivd.p	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		dvrdir.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
7		dvrdir.t	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
8	3, 4, 5, 6, 7	dvrval 18685	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
9	8	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
10	1, 2, 9	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
11		rdivmuldivd.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
12		crngring 18558	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	3, 5	unitss 18660	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
15	5, 6	unitinvcl 18674	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
16	13, 2, 15	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
17	14, 16	sseldi 3601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
18		rdivmuldivd.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
19		rdivmuldivd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)
20	3, 5, 7	dvrcl 18686	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
21	13, 18, 19, 20	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
22	3, 4	ringass 18564	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
23	13, 1, 17, 21, 22	syl13anc 1328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
24	3, 4	crngcom 18562	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
25	11, 17, 21, 24	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
26	25	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
27	10, 23, 26	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
28		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
29	5, 28	unitgrp 18667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
30	13, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
31	5, 28	unitgrpbas 18666	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
32		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
33	5, 28, 6	invrfval 18673	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
34	31, 32, 33	grpinvadd 17493	. . . . . 6 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
35	30, 2, 19, 34	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
36		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Unit‘𝑅) ∈ V
37	5, 36	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ V
38		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑈) = (𝑅 ↾s 𝑈)
39		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
40	38, 39	mgpress 18500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
41	13, 37, 40	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
42	41	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
43		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))
44	38, 4	ressmulr 16006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
45	37, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈))
46	43, 45	mgpplusg 18493	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
47	42, 46	syl6reqr 2675	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
48	47	oveqd 6667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) = (𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊))
49	48	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
50	47	oveqd 6667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
51	35, 49, 50	3eqtr4d 2666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
52	51	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
53	3, 4	ringcl 18561	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
54	13, 1, 18, 53	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
55	5, 4	unitmulcl 18664	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
56	13, 2, 19, 55	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
57	3, 4, 5, 6, 7	dvrval 18685	. . . 4 ⊢ (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
58	54, 56, 57	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
59	5, 6	unitinvcl 18674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
60	13, 19, 59	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
61	14, 60	sseldi 3601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)
62	3, 4	ringass 18564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
63	13, 1, 18, 61, 62	syl13anc 1328	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
64	3, 4, 5, 6, 7	dvrval 18685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊)))
65	18, 19, 64	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊)))
66	65	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
67	63, 66	eqtr4d 2659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)))
68	67	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
69	3, 4	ringass 18564	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
70	13, 54, 61, 17, 69	syl13anc 1328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
71	3, 4	ringass 18564	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
72	13, 1, 21, 17, 71	syl13anc 1328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
73	68, 70, 72	3eqtr3rd 2665	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
74	52, 58, 73	3eqtr4rd 2667	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
75	27, 74	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  Grpcgrp 17422  mulGrpcmgp 18489  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548  Unitcui 18639  inv_rcinvr 18671  /_rcdvr 18682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683

This theorem is referenced by:  qqhrhm  30033