Theorem repswccat 13532

Description: The concatenation of two "repeated symbol words" with the same symbol is again a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswccat	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem repswccat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repswlen 13523	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2	1	3adant3 1081	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
3		repswlen 13523	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
4	3	3adant2 1080	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
5	2, 4	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
6	5	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
7		simp1 1061	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ 𝑉)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
9		simpl2 1065	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	2	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
11	10	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
12	11	biimpa 501	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
13	8, 9, 12	3jca 1242	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
14	13	adantlr 751	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
15		repswsymb 13521	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
17	7	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
18		simpll3 1102	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
19	2, 4	jca 554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀))
20		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)))
21	20	anim1i 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
22		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
24	22, 23	anim12i 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
25	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
26		fzocatel 12531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))
27	21, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))
28	27	exp31 630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
29	28	3adant1 1079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
30		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
31	30	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
32	31	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))))
33		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
34	33	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
35	34	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
37		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝑥 − 𝑁))
38	37	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → ((𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
40	36, 39	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
41	32, 40	imbi12d 334	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))))
42	29, 41	syl5ibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)))))
43	19, 42	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))))
44	43	imp31 448	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))
45		repswsymb 13521	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
46	17, 18, 44, 45	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
47	16, 46	ifeqda 4121	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = 𝑆)
48	6, 47	mpteq12dva 4732	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
49		ovex 6678	. . . 4 ⊢ (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
50		ovex 6678	. . . 4 ⊢ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V
51	49, 50	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V)
52		ccatfval 13358	. . 3 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
53	51, 52	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
54		nn0addcl 11328	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
55	54	3adant1 1079	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
56		reps 13517	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
57	7, 55, 56	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
58	48, 53, 57	3eqtr4d 2666	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ifcif 4086   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ..^cfzo 12465  #chash 13117   ++ cconcat 13293   repeatS creps 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-concat 13301  df-reps 13306

This theorem is referenced by:  repswcshw  13558  repsw2  13693  repsw3  13694