Theorem ressply1add 19600

Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1add	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
2		ressply1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2622	. . 3 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝐻) = (1𝑜 mPoly 𝐻)
4		ressply1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
6		ressply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
7	4, 5, 6	ply1bas 19565	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝐻))
8		1on 7567	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ On
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1𝑜 ∈ On)
10		ressply1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11		eqid 2622	. . 3 ⊢ ((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
12	1, 2, 3, 7, 9, 10, 11	ressmpladd 19457	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘(1𝑜 mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
13		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
14	4, 3, 13	ply1plusg 19595	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝐻))
15	14	oveqi 6663	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘(1𝑜 mPoly 𝐻))𝑌)
16		ressply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
17		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
18	16, 1, 17	ply1plusg 19595	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
19		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) ∈ V
20	6, 19	eqeltri 2697	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
21		ressply1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
22	21, 17	ressplusg 15993	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
23	20, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃)
24		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
25	11, 24	ressplusg 15993	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (+g‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
26	20, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (+g‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
27	18, 23, 26	3eqtr3i 2652	. . 3 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
28	27	oveqi 6663	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘𝑃)𝑌) = (𝑋(+g‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
29	12, 15, 28	3eqtr4g 2681	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  Oncon0 5723  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  +_gcplusg 15941  SubRingcsubrg 18776   mPoly cmpl 19353  PwSer₁cps1 19545  Poly₁cpl1 19547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-subg 17591  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552

This theorem is referenced by:  gsumply1subr  19604