Theorem setsstructOLD 15899

Description: Obsolete version of setsstruct 15898 as of 14-Nov-2021. (Contributed by AV, 9-Jun-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
setsstructOLD	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩))

Proof of Theorem setsstructOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr11 1145	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℕ)
2		simpr12 1146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
4	3	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
5	4	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
6	5	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
7	6	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ))
8	7	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ))
9	8	imp 445	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝐼 ∈ ℕ)
10	2, 9	ifcld 4131	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ)
11		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
12	11	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
13		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐼 ∈ ℝ)
14	12, 13	anim12i 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
15		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
16	15	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
18		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
19	14, 17, 18	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
20	19	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
21	20	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
22	21	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
23	22	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
24	23	imp 445	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
25		lemaxle 12026	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼))
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼))
27	1, 10, 26	3jca 1242	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))
28		simp1 1061	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐺 ∈ 𝑈)
29		simp2 1062	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
30	28, 29	anim12i 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐺 ∈ 𝑈 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})))
31		pm3.22 465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐸 ∈ 𝑉))
32	31	3adant1 1079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐸 ∈ 𝑉))
33	32	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐸 ∈ 𝑉))
34		setsfun0 15894	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
35	30, 33, 34	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
36		3simpa 1058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉))
37	36	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉))
38		setsdm 15892	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
40		simp3 1063	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))
41		nnz 11399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44		simpl3 1066	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
45		ssfzunsn 12387	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (dom 𝐺 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))
46	40, 43, 44, 45	syl2an23an 1387	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (dom 𝐺 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))
47	39, 46	eqsstrd 3639	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))
48	27, 35, 47	3jca 1242	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼))))
49	48	ex 450	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))))
50		isstruct 15870	. 2 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)))
51		isstruct 15870	. 2 ⊢ ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩ ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼))))
52	49, 50, 51	3imtr4g 285	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ifcif 4086  {csn 4177  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  Fun wfun 5882  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326   Struct cstr 15853   sSet csts 15855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-sets 15864

This theorem is referenced by: (None)