Theorem sge0lempt 40627

Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0lempt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0lempt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0lempt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.le	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sge0lempt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0lempt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0lempt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0lempt.xph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0lempt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 6387	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0lempt.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	2, 6, 7	fmptdf 6387	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
9		nfv 1843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
10	2, 9	nfan 1828	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)
11		nfcv 2764	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
12	11	nfcsb1 3548	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
13		nfcv 2764	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
14	11	nfcsb1 3548	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
15	12, 13, 14	nfbr 4699	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
16	10, 15	nfim 1825	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
17		eleq1 2689	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
18	17	anbi2d 740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
19		csbeq1a 3542	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
20		csbeq1a 3542	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
21	19, 20	breq12d 4666	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
22	18, 21	imbi12d 334	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)))
23		sge0lempt.le	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
24	16, 22, 23	chvar 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
25		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
26		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝜑)
27	12	nfel1 2779	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞)
28	10, 27	nfim 1825	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞))
29	19	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
30	18, 29	imbi12d 334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
31	28, 30, 3	chvar 2262	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞))
32	26, 25, 31	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞))
33	11, 12, 19, 4	fvmptf 6301	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
34	25, 32, 33	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
35		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(0[,]+∞)
36	14, 35	nfel 2777	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)
37	10, 36	nfim 1825	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
38	20	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
39	18, 38	imbi12d 334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
40	37, 39, 6	chvar 2262	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
41	26, 25, 40	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
42	11, 14, 20, 7	fvmptf 6301	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
43	25, 41, 42	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
44	34, 43	breq12d 4666	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
45	24, 44	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))
46	1, 5, 8, 45	sge0le 40624	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990  ⦋csb 3533   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  +∞cpnf 10071   ≤ cle 10075  [,]cicc 12178  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  40632  sge0xadd  40652  meaiunlelem  40685  hoicvrrex  40770  ovnsubaddlem1  40784  sge0hsphoire  40803  hoidmv1lelem1  40805  hoidmv1lelem2  40806  hoidmv1lelem3  40807  hoidmvlelem1  40809  hoidmvlelem2  40810  hoidmvlelem4  40812  hspmbllem2  40841  ovolval5lem1  40866