Theorem meaiunlelem 40685

Description: The measure of the union of countable sets is less or equal to the sum of the measures, Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiunlelem.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiunlelem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiunlelem.s	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meaiunlelem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiunlelem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
meaiunlelem.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
meaiunlelem	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑛,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑛,𝑍   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem meaiunlelem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiunlelem.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		meaiunlelem.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
3		meaiunlelem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
4		meaiunlelem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
5	1, 2, 3, 4	iundjiun 40677	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝑍 ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐸‘𝑛) ∧ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)))
6	5	simplrd 793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
7	6	eqcomd 2628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛))
8	7	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)))
9		meaiunlelem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
10		meaiunlelem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
11	9, 10	dmmeasal 40669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	3	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)
14		fzofi 12773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁..^𝑛) ∈ Fin
15		isfinite 8549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
16	15	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
17		sdomdom 7983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ≺ ω → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
19	14, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁..^𝑛) ≼ ω
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
21	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
22		elfzouz 12474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
23	2	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = 𝑍
24	22, 23	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ 𝑍)
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ 𝑍)
26	21, 25	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
27	11, 20, 26	saliuncl 40542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
28	27	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
29		saldifcl2 40546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆 ∧ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ 𝑆)
30	12, 13, 28, 29	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ 𝑆)
31	1, 30, 4	fmptdf 6387	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑆)
32	31	ffvelrnda 6359	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
33		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
34	33	uzct 39232	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ≼ ω
35	2, 34	eqbrtri 4674	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ≼ ω
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≼ ω)
37	5	simprd 479	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛))
38	1, 9, 10, 32, 36, 37	meadjiun 40683	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
39		eqidd 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
40	8, 38, 39	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
41		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ∈ V
42	2, 41	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
44	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
45	44, 10, 32	meacl 40675	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐹‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
46	44, 10, 13	meacl 40675	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
47		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
48		difexg 4808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ V)
49	13, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ V)
50	4	fvmpt2 6291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ V) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
51	47, 49, 50	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
52		difssd 3738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
53	51, 52	eqsstrd 3639	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐸‘𝑛))
54	44, 10, 32, 13, 53	meassle 40680	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐹‘𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
55	1, 43, 45, 46, 54	sge0lempt 40627	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))
56	40, 55	eqbrtrd 4675	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571  ∪ ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ωcom 7065   ≼ cdom 7953   ≺ csdm 7954  Fincfn 7955   ≤ cle 10075  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  SAlgcsalg 40528  Σ^{^}csumge0 40579  Meascmea 40666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-salg 40529  df-sumge0 40580  df-mea 40667

This theorem is referenced by:  meaiunle  40686