Theorem signsvfnn 30663

Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (#‘𝐸)
signsvf.b	⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvfnn	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvfnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
3		signsvf.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
4	1	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word ℝ)
5		wrdf 13310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → 𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶ℝ)
7		signsvf.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑁 = (#‘𝐸)
8	7	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 − 1) = ((#‘𝐸) − 1)
9		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
10	1, 9	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
11		lennncl 13325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (#‘𝐸) ∈ ℕ)
12		fzo0end 12560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝐸) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐸)))
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐸)))
14	8, 13	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝐸)))
15	6, 14	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
17	3, 16	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
19		signsvf.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
23	22	lt0ne0d 10593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) ≠ 0)
24	18, 21, 23	mulne0bad 10682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ≠ 0)
25	3, 24	syl5eqner 2869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
26		signsv.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
27		signsv.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
28		signsv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
29		signsv.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
30	26, 27, 28, 29, 7	signsvtn0 30647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1))))
31	3	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 ⊢ (sgn‘𝐵) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1)))
32	30, 31	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
33	2, 25, 32	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
34	33	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(sgn‘𝐵)))
35	3, 15	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	rexrd 10089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38		sgnsgn 30610	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
40	34, 39	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘𝐵))
41	40	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
42	20, 17	mulcomd 10061	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
43	42	breq1d 4663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐵 · 𝐴) < 0))
44		sgnmulsgn 30611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
45	19, 35, 44	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
46	43, 45	bitr3d 270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
47	46	biimpa 501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0)
48	41, 47	eqbrtrd 4675	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0)
49	19	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
50		sgnclre 30601	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
51	36, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
52	33, 51	eqeltrd 2701	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
53		sgnmulsgn 30611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
54	49, 52, 53	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
55	48, 54	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0)
56		signsvf.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
57		signsvf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
58		eqid 2622	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
59	26, 27, 28, 29, 1, 56, 57, 19, 7, 58	signsvtn 30661	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)
60	55, 59	syldan 487	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∖ cdif 3571  ∅c0 3915  ifcif 4086  {csn 4177  {cpr 4179  {ctp 4181  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   − cmin 10266  -cneg 10267  ℕcn 11020  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293  ⟨“cs1 13294  sgncsgn 13826  Σcsu 14416  ndxcnx 15854  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941   Σ_g cgsu 16101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-sgn 13827  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541  df-cntz 17750

This theorem is referenced by: (None)