Theorem sqrt2irrlemOLD 14978

Description: Obsolete proof of sqrt2irrlem 14977 as of 4-Jan-2022. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrt2irrlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3	⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrlemOLD	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		sqrtth 14104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑2) = 2)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘2)↑2) = 2
4		sqrt2irrlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
5	4	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
6	3, 5	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
7		sqrt2irrlem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9		sqrt2irrlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
10	9	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
12	8, 10, 11	sqdivd 13021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
13	6, 12	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
14	13	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
15	8	sqcld 13006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
16	9	nnsqcld 13029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
18	16	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≠ 0)
19	15, 17, 18	divcan1d 10802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
20	14, 19	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
21	20	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
22	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
23		2ne0 11113	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
25	17, 22, 24	divcan3d 10806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
26	21, 25	eqtr3d 2658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
27	26, 16	eqeltrd 2701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 11481	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
29		zesq 12987	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
30	7, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
31	28, 30	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
32	1	sqvali 12943	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
33	32	oveq2i 6661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2))
34	8, 22, 24	sqdivd 13021	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
35	15, 22, 22, 24, 24	divdiv1d 10832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
36	33, 34, 35	3eqtr4a 2682	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
37	26	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
38	36, 37	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
39		zsqcl 12934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
40	31, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
41	38, 40	eqeltrrd 2702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
42	16	nnrpd 11870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
43	42	rphalfcld 11884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
44	43	rpgt0d 11875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
45		elnnz 11387	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
46	41, 44, 45	sylanbrc 698	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
47		nnesq 12988	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
48	9, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
49	46, 48	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
50	31, 49	jca 554	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   · cmul 9941   < clt 10074   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ℤcz 11377  ↑cexp 12860  √csqrt 13973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by: (None)