Theorem divcan1d 10802

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 10694	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   · cmul 9941   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  ltdiv23  10914  lediv23  10915  recp1lt1  10921  ledivp1  10925  subhalfhalf  11266  xp1d2m1eqxm1d2  11286  div4p1lem1div2  11287  qmulz  11791  iccf1o  12316  ltdifltdiv  12635  bcpasc  13108  sqrtdiv  14006  geo2sum  14604  sqrt2irrlem  14977  sqrt2irrlemOLD  14978  dvdsval2  14986  flodddiv4t2lthalf  15140  bitsres  15195  bitsuz  15196  mulgcddvds  15369  qredeq  15371  isprm6  15426  qmuldeneqnum  15455  hashgcdlem  15493  pcqdiv  15562  pockthlem  15609  prmreclem3  15622  4sqlem5  15646  4sqlem12  15660  4sqlem15  15663  sylow3lem4  18045  odadd1  18251  odadd2  18252  gexexlem  18255  pgpfac1lem3a  18475  pgpfac1lem3  18476  znidomb  19910  znrrg  19914  nmoleub2lem  22914  nmoleub3  22919  i1fmullem  23461  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem4  23485  mbfi1fseqlem5  23486  dvcnp2  23683  dvlip  23756  plydivlem4  24051  cosne0  24276  advlogexp  24401  root1id  24495  cxplogb  24524  ang180lem1  24539  ang180lem3  24541  angpieqvd  24558  chordthmlem  24559  dcubic2  24571  dcubic  24573  dquartlem2  24579  cxploglim2  24705  fsumdvdsdiaglem  24909  logexprlim  24950  bposlem3  25011  lgslem1  25022  gausslemma2dlem1a  25090  lgsquadlem1  25105  2lgslem1a1  25114  log2sumbnd  25233  chpdifbndlem1  25242  selberg4lem1  25249  pntrlog2bndlem3  25268  pntibndlem2  25280  pntlemr  25291  ostth2lem3  25324  ostth2  25326  ostth3  25327  axcontlem7  25850  blocnilem  27659  qqhval2lem  30025  cndprobin  30496  itgexpif  30684  faclimlem1  31629  faclimlem3  31631  nn0prpwlem  32317  bj-ldiv  33155  itg2addnclem3  33463  bfplem1  33621  rrncmslem  33631  rrnequiv  33634  pellexlem6  37398  jm2.19  37560  jm2.27c  37574  binomcxplemnotnn0  38555  sineq0ALT  39173  xralrple2  39570  ltdiv23neg  39617  stoweidlem42  40259  stirlinglem3  40293  dirkertrigeq  40318  dirkercncflem2  40321  dirkercncflem4  40323  fourierdlem4  40328  fourierdlem63  40386  fourierdlem65  40388  fourierdlem83  40406  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414  etransclem38  40489  smfmullem1  40998  sigarcol  41053  sharhght  41054  proththd  41531  mod0mul  42314  nn0sumshdiglemA  42413