Theorem sqcld 13006

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 12925	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  2c2 11070  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  13046  muldivbinom2  13047  recval  14062  arisum2  14593  fsumcube  14791  efi4p  14867  sincossq  14906  cos2t  14908  cos2tsin  14909  sqrt2irrlem  14977  sqrt2irrlemOLD  14978  pythagtriplem1  15521  pythagtriplem2  15522  pythagtriplem6  15526  pythagtriplem7  15527  pythagtriplem12  15531  pythagtriplem14  15533  4sqlem7  15648  4sqlem10  15651  4sqlem14  15662  4cphipval2  23041  csbren  23182  rrxmval  23188  rrxmetlem  23190  dvrecg  23736  dvmptdiv  23737  dveflem  23742  coskpi  24272  coseq1  24274  tanregt0  24285  efif1olem4  24291  tanarg  24365  lawcoslem1  24545  lawcos  24546  pythag  24547  ssscongptld  24552  chordthmlem3  24561  chordthmlem4  24562  chordthmlem5  24563  heron  24565  quad2  24566  quad  24567  dcubic1lem  24570  dcubic2  24571  dcubic1  24572  dcubic  24573  mcubic  24574  cubic2  24575  cubic  24576  binom4  24577  dquartlem1  24578  dquartlem2  24579  dquart  24580  quart1cl  24581  quart1lem  24582  quart1  24583  quartlem1  24584  quartlem2  24585  quartlem4  24587  quart  24588  asinlem3  24598  asinneg  24613  asinsin  24619  atandmcj  24636  efiatan2  24644  atandmtan  24647  cosatan  24648  cosatanne0  24649  dvatan  24662  cxp2limlem  24702  lgamgulmlem4  24758  basellem8  24814  lgsdir  25057  2sqlem4  25146  2sqlem11  25154  mulog2sumlem2  25224  mulog2sumlem3  25225  logsqvma  25231  selberglem1  25234  selberglem3  25236  selberg  25237  logdivbnd  25245  pntlemf  25294  pntlemk  25295  pntlemo  25296  ax5seglem1  25808  ax5seglem2  25809  ax5seglem6  25814  ax5seglem9  25817  axlowdimlem16  25837  axlowdimlem17  25838  4ipval2  27563  ipidsq  27565  cncph  27674  hhph  28035  eigvalcl  28820  bhmafibid2  29645  2sqn0  29646  2sqmod  29648  circlemethhgt  30721  hgt750leme  30736  sin2h  33399  cos2h  33400  tan2h  33401  dvtan  33460  dvasin  33496  dvacos  33497  areacirclem1  33500  areacirclem2  33501  areacirclem4  33503  areacirc  33505  ismrer1  33637  pellexlem1  37393  pellexlem2  37394  pellexlem6  37398  pell1qrge1  37434  pell1qrgaplem  37437  rmspecsqrtnq  37470  rmspecsqrtnqOLD  37471  rmxdbl  37504  jm2.18  37555  jm2.19lem1  37556  jm2.25  37566  jm2.27c  37574  dvdivf  40137  dvdivbd  40138  itgsinexplem1  40169  itgsinexp  40170  wallispi2lem1  40288  wallispi2lem2  40289  wallispi2  40290  stirlinglem1  40291  stirlinglem3  40293  stirlinglem8  40298  stirlinglem10  40300  stirlinglem15  40305  rrxtopnfi  40506  hoiqssbllem2  40837  onetansqsecsq  42502  cotsqcscsq  42503