Theorem uhgrwkspth 26651

Description: Any walk of length 1 between two different vertices is a simple path. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrwkspth.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrwkspth.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uhgrwkspth	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃))

Proof of Theorem uhgrwkspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl31 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		uhgrwkspthlem1 26649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (#‘𝐹) = 1) → Fun ◡𝐹)
3	2	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → Fun ◡𝐹))
4	3	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → Fun ◡𝐹))
5	4	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ◡𝐹))
6	5	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ◡𝐹))
7	6	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ◡𝐹))
8	7	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → Fun ◡𝐹)
9		istrl 26593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
10	1, 8, 9	sylanbrc 698	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11		3simpc 1060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
12	11	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
13		3simpc 1060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵))
14	13	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵))
15	14	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵))
16		uhgrwkspthlem2 26650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → Fun ◡𝑃)
17	1, 12, 15, 16	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → Fun ◡𝑃)
18		isspth 26620	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
19	10, 17, 18	sylanbrc 698	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
20		3anass 1042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
21	19, 15, 20	sylanbrc 698	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵))
22		3simpa 1058	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
23	22	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
24		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
25	24	isspthonpth 26645	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
26	23, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
27	21, 26	mpbird 247	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
28	27	ex 450	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃))
29	24	wlkonprop 26554	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
30		3simpc 1060	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
31	30	3anim1i 1248	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
32	29, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
33	28, 32	syl11 33	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃))
34		spthonpthon 26647	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
35		pthontrlon 26643	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
36		trlsonwlkon 26606	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
37	34, 35, 36	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
38	33, 37	impbid1 215	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   class class class wbr 4653  ^◡ccnv 5113  Fun wfun 5882  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937  #chash 13117  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939  Walkscwlks 26492  WalksOncwlkson 26493  Trailsctrls 26587  TrailsOnctrlson 26588  SPathscspths 26609  PathsOncpthson 26610  SPathsOncspthson 26611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-wlks 26495  df-wlkson 26496  df-trls 26589  df-trlson 26590  df-pths 26612  df-spths 26613  df-pthson 26614  df-spthson 26615

This theorem is referenced by: (None)