Theorem uhgrwkspthlem2 26650

Description: Lemma 2 for uhgrwkspth 26651. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uhgrwkspthlem2	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → Fun ◡𝑃)

Proof of Theorem uhgrwkspthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkp 26512	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
3		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → (0...(#‘𝐹)) = (0...1))
4		1e0p1 11552	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (0 + 1)
5	4	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0...1) = (0...(0 + 1))
6		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		fzpr 12396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
9		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
10	9	preq2i 4272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
11	5, 8, 10	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0...1) = {0, 1}
12	3, 11	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → (0...(#‘𝐹)) = {0, 1})
13	12	feq2d 6031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺)))
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺)))
15		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
16		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)
17	15, 16	neeq12d 2855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
18	17	bicomd 213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘1))
20	19	neeq2d 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
21	18, 20	sylan9bbr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
22	14, 21	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
23		1z 11407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		fpr2g 6475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})))
25	6, 23, 24	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}))
26		funcnvs2 13658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
27	26	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
29		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})
30		s2prop 13652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩ = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})
31	30	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
34	29, 33	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → 𝑃 = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
35	34	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → ◡𝑃 = ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
36	35	funeqd 5910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → (Fun ◡𝑃 ↔ Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩))
37	28, 36	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → Fun ◡𝑃)
38	37	exp32 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun ◡𝑃)))
39	38	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun ◡𝑃))
40	39	3impa 1259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun ◡𝑃))
41	25, 40	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun ◡𝑃))
42	41	imp 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun ◡𝑃)
43	22, 42	syl6bi 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ◡𝑃))
44	43	expd 452	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun ◡𝑃)))
45	44	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((#‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun ◡𝑃)))
46	45	expd 452	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((#‘𝐹) = 1 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun ◡𝑃))))
47	46	com34 91	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((#‘𝐹) = 1 → (𝐴 ≠ 𝐵 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → Fun ◡𝑃))))
48	47	impd 447	. . 3 ⊢ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → Fun ◡𝑃)))
49	2, 48	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → Fun ◡𝑃)))
50	49	3imp 1256	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((#‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → Fun ◡𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  {cpr 4179  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ^◡ccnv 5113  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  ℤcz 11377  ...cfz 12326  #chash 13117  ⟨“cs2 13586  Vtxcvtx 25874  Walkscwlks 26492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-wlks 26495

This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  26651