Theorem vdwnnlem2 15700

Description: Lemma for vdwnn 15702. The set of all "bad" 𝑘 for the theorem is upwards-closed, because a long AP implies a short AP. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwnn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
vdwnn.3	⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}

Assertion

Ref	Expression
vdwnnlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐵 ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑘,𝑚,𝐴   𝑎,𝑐,𝑑,𝑚   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚   𝐹,𝑎   𝑘,𝑐,𝐹,𝑑,𝑚   𝑆,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   𝑅(𝑘,𝑚)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 11692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5	1	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
8	5, 6, 7	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
9	8	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐴))
10	4, 9	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1)))
11		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
12	3, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
13	12	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
14		fzss2 12381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)) → (0...(𝐴 − 1)) ⊆ (0...(𝐵 − 1)))
15		ssralv 3666	. . . . . . . 8 ⊢ ((0...(𝐴 − 1)) ⊆ (0...(𝐵 − 1)) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
17	16	reximdv 3016	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
18	17	reximdv 3016	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
19	18	con3d 148	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
20		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
21		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
22		eluznn 11758	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ)
23	20, 21, 22	syl2anr 495	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
24	19, 23	jctild 566	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
25	24	expimpd 629	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
26		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 − 1) = (𝐴 − 1))
27	26	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐴 − 1)))
28	27	raleqdv 3144	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
29	28	2rexbidv 3057	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
30	29	notbid 308	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
31		vdwnn.3	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}
32	30, 31	elrab2 3366	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
33		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 − 1) = (𝐵 − 1))
34	33	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐵 − 1)))
35	34	raleqdv 3144	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
36	35	2rexbidv 3057	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
37	36	notbid 308	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
38	37, 31	elrab2 3366	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
39	25, 32, 38	3imtr4g 285	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐵 ∈ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  15701