Theorem npcan 10290

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 10280	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 10238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 10289	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 469	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2656	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   + caddc 9939   − cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  addsubass  10291  npncan  10302  nppcan  10303  nnpcan  10304  subcan2  10306  nnncan  10316  npcand  10396  nn1suc  11041  zlem1lt  11429  zltlem1  11430  peano5uzi  11466  nummac  11558  uzp1  11721  peano2uzr  11743  qbtwnre  12030  fz01en  12369  fzsuc2  12398  fseq1m1p1  12415  predfz  12464  fzoss2  12496  fzoaddel2  12523  fzosplitsnm1  12542  fldiv  12659  modfzo0difsn  12742  seqm1  12818  monoord2  12832  sermono  12833  seqf1olem1  12840  seqf1olem2  12841  seqz  12849  expm1t  12888  expubnd  12921  bcm1k  13102  bcn2  13106  hashfzo  13216  hashbclem  13236  hashf1  13241  seqcoll  13248  addlenrevswrd  13437  swrdfv2  13446  swrdspsleq  13449  swrdlsw  13452  cshwlen  13545  cshwidxmod  13549  cshwidxmodr  13550  cshwidxm  13554  swrd2lsw  13695  shftlem  13808  shftfval  13810  seqshft  13825  iserex  14387  serf0  14411  iseralt  14415  sumrblem  14442  fsumm1  14480  mptfzshft  14510  binomlem  14561  binom1dif  14565  isumsplit  14572  climcndslem1  14581  binomrisefac  14773  bpolycl  14783  bpolysum  14784  bpolydiflem  14785  bpoly2  14788  bpoly3  14789  fsumcube  14791  ruclem12  14970  dvdssub2  15023  4sqlem19  15667  vdwapun  15678  vdwapid1  15679  vdwlem5  15689  vdwlem8  15692  vdwnnlem2  15700  ramub1lem2  15731  1259lem4  15841  1259prm  15843  2503prm  15847  4001prm  15852  gsumccat  17378  sylow1lem1  18013  efgsres  18151  efgredleme  18156  gsummptshft  18336  icccvx  22749  reparphti  22797  ovolunlem1  23265  advlog  24400  cxpaddlelem  24492  ang180lem1  24539  ang180lem3  24541  asinlem2  24596  tanatan  24646  ppiub  24929  perfect1  24953  lgsquad2lem1  25109  rplogsumlem1  25173  selberg2lem  25239  logdivbnd  25245  pntrsumo1  25254  pntrsumbnd2  25256  ax5seglem3  25811  ax5seglem5  25813  axbtwnid  25819  axlowdimlem16  25837  axeuclidlem  25842  axcontlem2  25845  crctcshwlkn0lem6  26707  eucrctshift  27103  numclwwlkovf2exlem2  27212  numclwwlkovf2ex  27219  cvmliftlem7  31273  nndivsub  32456  ltflcei  33397  itg2addnclem3  33463  mettrifi  33553  irrapxlem1  37386  rmspecsqrtnq  37470  rmspecsqrtnqOLD  37471  jm2.24nn  37526  jm2.18  37555  jm2.23  37563  jm2.27c  37574  itgsinexp  40170  2elfz2melfz  41328  addlenrevpfx  41397  sbgoldbwt  41665  sgoldbeven3prm  41671  evengpop3  41686  evengpoap3  41687  zlmodzxzsub  42138