Theorem peano2zm 11420

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 11407	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 11419	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 707	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  1c1 9937   − cmin 10266  ℤcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  zlem1lt  11429  zltlem1  11430  zextlt  11451  zeo  11463  eluzp1m1  11711  uzm1  11718  zbtwnre  11786  fz01en  12369  fzsuc2  12398  elfzm11  12411  uzdisj  12413  preduz  12461  predfz  12464  elfzo  12472  fzon  12489  fzoss2  12496  fzossrbm1  12497  fzosplitsnm1  12542  ubmelm1fzo  12564  elfzom1b  12567  fzosplitprm1  12578  fzoshftral  12585  sermono  12833  seqf1olem1  12840  seqf1olem2  12841  bcm1k  13102  bcn2  13106  bcp1m1  13107  bcpasc  13108  bccl  13109  hashbclem  13236  seqcoll  13248  revccat  13515  revrev  13516  absrdbnd  14081  fsumm1  14480  binomlem  14561  isumsplit  14572  climcndslem1  14581  arisum2  14593  mertenslem1  14616  fprodser  14679  fprodm1  14697  risefacval2  14741  fallfacval2  14742  fallfacval3  14743  fallfacfwd  14767  binomfallfaclem2  14771  3dvds  15052  3dvdsOLD  15053  oddm1even  15067  oddp1even  15068  mod2eq1n2dvds  15071  zob  15083  nno  15098  pwp1fsum  15114  isprm3  15396  ncoprmlnprm  15436  hashdvds  15480  pockthlem  15609  4sqlem11  15659  vdwapun  15678  vdwap0  15680  vdwnnlem2  15700  efgsp1  18150  efgsres  18151  srgbinomlem4  18543  srgbinomlem  18544  znunit  19912  dvexp3  23741  dvfsumlem1  23789  degltlem1  23832  abelthlem6  24190  atantayl2  24665  wilthlem1  24794  basellem5  24811  mersenne  24952  perfectlem1  24954  lgslem1  25022  lgsval2lem  25032  lgseisenlem1  25100  lgseisenlem2  25101  lgseisenlem3  25102  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem3  25107  lgsquad2lem1  25109  lgsquad3  25112  2sqlem8  25151  2sqblem  25156  dchrisumlem1  25178  logdivbnd  25245  pntrsumbnd2  25256  ostth2lem3  25324  axlowdim  25841  pthdlem1  26662  pthdlem2  26664  wwlksm1edg  26767  clwlkclwwlklem2fv1  26896  clwlkclwwlklem2a4  26898  clwlkclwwlklem2a  26899  clwlkclwwlklem2  26901  clwlkclwwlk  26903  clwwlksf  26915  wwlksubclwwlks  26925  clwwisshclwwslem  26927  clwlksfclwwlk  26962  extwwlkfablem2  27210  numclwwlk5  27246  numclwwlk7  27249  frgrreggt1  27251  erdszelem7  31179  elfzm12  31569  fz0n  31616  fwddifnp1  32272  knoppndvlem2  32504  ltflcei  33397  poimirlem1  33410  poimirlem2  33411  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem8  33417  poimirlem9  33418  poimirlem15  33424  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem18  33427  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem24  33433  poimirlem27  33436  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  mettrifi  33553  rmxluc  37501  rmyluc  37502  jm2.24  37530  jm2.18  37555  jm2.22  37562  jm2.23  37563  jm2.26lem3  37568  jm2.15nn0  37570  jm2.16nn0  37571  jm2.27a  37572  jm2.27c  37574  jm3.1lem3  37586  hashnzfz  38519  monoords  39511  fzisoeu  39514  dvnmul  40158  stoweidlem11  40228  dirkercncflem1  40320  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem65  40388  fourierdlem79  40402  zm1nn  41316  iccpartipre  41357  pwdif  41501  pwm1geoserALT  41502  sfprmdvdsmersenne  41520  lighneallem4a  41525  proththd  41531  dfodd6  41550  evenm1odd  41552  oddm1eveni  41555  onego  41559  m1expoddALTV  41561  dfodd4  41571  oddflALTV  41575  oddm1evenALTV  41586  nnoALTV  41606  perfectALTVlem1  41630  altgsumbcALT  42131  pw2m1lepw2m1  42310  m1modmmod  42316  difmodm1lt  42317  zofldiv2  42325  logbpw2m1  42361  nnolog2flm1  42384  dignn0flhalflem1  42409