Theorem fzss2 12381

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 12338	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 12339	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 11704	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 491	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 12336	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 698	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 450	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3609	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  fzssp1  12384  elfz0add  12438  predfz  12464  fzoss2  12496  sermono  12833  seqsplit  12834  seqcaopr2  12837  seqf1olem2a  12839  seqf1olem2  12841  seqhomo  12848  seqz  12849  bcm1k  13102  seqcoll  13248  seqcoll2  13249  isercoll  14398  fsum0diaglem  14508  fsum0diag2  14515  cvgcmpce  14550  mertenslem1  14616  prodfn0  14626  prodfrec  14627  binomfallfaclem2  14771  bpoly4  14790  eulerthlem2  15487  pcfac  15603  vdwnnlem2  15700  strlemor1OLD  15969  strleun  15972  gsumzaddlem  18321  telgsumfzs  18386  imasdsf1olem  22178  plyaddlem1  23969  plymullem1  23970  coeeulem  23980  coeidlem  23993  coeid3  23996  coefv0  24004  coemulc  24011  vieta1lem2  24066  ppinprm  24878  chtnprm  24880  chpwordi  24883  chtublem  24936  bposlem1  25009  gausslemma2dlem2  25092  lgsquadlem3  25107  chebbnd1lem1  25158  vmadivsumb  25172  dchrvmasumiflem1  25190  mulog2sumlem2  25224  selbergb  25238  selberg2b  25241  chpdifbndlem1  25242  logdivbnd  25245  selberg3lem2  25247  pntrsumbnd  25255  pntlemq  25290  axlowdimlem16  25837  axlowdimlem17  25838  wlkres  26567  crctcshwlkn0lem2  26703  clwwlksvbij  26922  ballotlemimin  30567  ballotlemsdom  30573  ballotlemsel1i  30574  ballotlemsima  30577  ballotlemfrc  30588  ballotlemfrceq  30590  fzssfzo  30613  fsum2dsub  30685  erdszelem7  31179  erdszelem8  31180  elfzm12  31569  poimirlem1  33410  poimirlem2  33411  poimirlem4  33413  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem9  33418  poimirlem15  33424  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem22  33431  poimirlem23  33432  poimirlem24  33433  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  poimirlem28  33437  poimirlem31  33440  mettrifi  33553  eldiophb  37320  eldioph2lem2  37324  diophrex  37339  fmul01  39812  fmulcl  39813  dvnprodlem2  40162  stoweidlem11  40228  stoweidlem17  40234  stoweidlem26  40243  iccpartres  41354  iccpartipre  41357