Theorem vtxdushgrfvedg 26386

Description: The value of the vertex degree function for a simple hypergraph. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg	⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((#‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) +𝑒 (#‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑈,𝑒   𝑒,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑒)

Proof of Theorem vtxdushgrfvedg

Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 6192	. . 3 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
4		vtxdushgrfvedg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6		eqid 2622	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
7	4, 5, 6	vtxdgval 26364	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
8	7	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
9		vtxdushgrfvedg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
10	4, 9	vtxdushgrfvedglem 26385	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (#‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}))
11		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
12	11	dmex 7099	. . . . . 6 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
13	12	rabex 4813	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V)
15		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} = {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}
16		eqeq1 2626	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (𝑒 = {𝑈} ↔ 𝑐 = {𝑈}))
17	16	cbvrabv 3199	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}} = {𝑐 ∈ 𝐸 ∣ 𝑐 = {𝑈}}
18		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
19	9, 5, 4, 15, 17, 18	ushgredgedgloop 26123	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)):{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})
20	14, 19	hasheqf1od 13144	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}) = (#‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}}))
21	10, 20	oveq12d 6668	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})) = ((#‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) +𝑒 (#‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})))
22	3, 8, 21	3eqtrd 2660	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((#‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) +𝑒 (#‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916  Vcvv 3200  {csn 4177   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   +_𝑒 cxad 11944  #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939   USHGraph cushgr 25952  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-hash 13118  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-ushgr 25954  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  1loopgrvd2  26399