Theorem wlkp1lem2 26571

Description: Lemma for wlkp1 26578. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem2	⊢ (𝜑 → (#‘𝐻) = (𝑁 + 1))

Proof of Theorem wlkp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
2	1	fveq2i 6194	. . 3 ⊢ (#‘𝐻) = (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐻) = (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
4		opex 4932	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
5		wlkp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6		wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7	6	wlkf 26510	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
8		wrdfin 13323	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Fin)
9	5, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
10		wlkp1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
11		fzonel 12483	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹))
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
13		eleq1 2689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (#‘𝐹) → (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹))))
14	13	notbid 308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (#‘𝐹) → (¬ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ ¬ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹))))
15	12, 14	syl5ibr 236	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (#‘𝐹) → (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
17		wrdfn 13319	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)))
18	5, 7, 17	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)))
19		fnop 5994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)) ∧ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
20	19	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)) → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
21	18, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
22	16, 21	mtod 189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
23	9, 22	jca 554	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
24		hashunsng 13181	. . 3 ⊢ (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹) → (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((#‘𝐹) + 1)))
25	4, 23, 24	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((#‘𝐹) + 1))
26	10	eqcomi 2631	. . . 4 ⊢ (#‘𝐹) = 𝑁
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐹) = 𝑁)
28	27	oveq1d 6665	. 2 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
29	3, 25, 28	3eqtrd 2660	1 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐻) = (𝑁 + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  {csn 4177  {cpr 4179  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  Fun wfun 5882   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939  Walkscwlks 26492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wlks 26495

This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  26577  wlkp1  26578  eupthp1  27076