Theorem wlkvtxiedg 26520

Description: The vertices of a walk are connected by indexed edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkvtxeledg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkvtxiedg	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼,𝑘   𝑃,𝑒

Proof of Theorem wlkvtxiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkvtxeledg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	wlkvtxeledg 26519	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
3		fvex 6201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃‘𝑘) ∈ V
4	3	prnz 4310	. . . . . . . 8 ⊢ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ≠ ∅
5		ssn0 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ≠ ∅) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ≠ ∅)
6	4, 5	mpan2 707	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ≠ ∅)
7	6	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ≠ ∅)
8		fvn0fvelrn 6430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ≠ ∅ → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼)
10		sseq2 3627	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
11	10	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑒 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
12		simpr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
13	9, 11, 12	rspcedvd 3317	. . . 4 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
14	13	ex 450	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒))
15	14	ralimdva 2962	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒))
16	2, 15	mpd 15	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {cpr 4179   class class class wbr 4653  ran crn 5115  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  ..^cfzo 12465  #chash 13117  iEdgciedg 25875  Walkscwlks 26492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wlks 26495

This theorem is referenced by:  wlkvtxedg  26540  wlkonl1iedg  26561