Theorem wlkvtxiedg 26520

Description: The vertices of a walk are connected by indexed edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkvtxeledg.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
wlkvtxiedg	|- ( F (Walks ` G ) P -> A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) E. e e. ran I { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ e )

Distinct variable groups:   k, G   k, F   P, k   e, F   e, G   e, I, k   P, e

Proof of Theorem wlkvtxiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkvtxeledg.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
2	1	wlkvtxeledg 26519	. 2 |- ( F (Walks ` G ) P -> A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) )
3		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( P ` k ) e. _V
4	3	prnz 4310	. . . . . . . 8 |- { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } =/= (/)
5		ssn0 3976	. . . . . . . 8 |- ( ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } =/= (/) ) -> ( I ` ( F ` k ) ) =/= (/) )
6	4, 5	mpan2 707	. . . . . . 7 |- ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) -> ( I ` ( F ` k ) ) =/= (/) )
7	6	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) -> ( I ` ( F ` k ) ) =/= (/) )
8		fvn0fvelrn 6430	. . . . . 6 |- ( ( I ` ( F ` k ) ) =/= (/) -> ( I ` ( F ` k ) ) e. ran I )
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) -> ( I ` ( F ` k ) ) e. ran I )
10		sseq2 3627	. . . . . 6 |- ( e = ( I ` ( F ` k ) ) -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ e <-> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) )
11	10	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) /\ e = ( I ` ( F ` k ) ) ) -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ e <-> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) )
12		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) -> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) )
13	9, 11, 12	rspcedvd 3317	. . . 4 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) -> E. e e. ran I { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ e )
14	13	ex 450	. . 3 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) -> E. e e. ran I { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ e ) )
15	14	ralimdva 2962	. 2 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) -> A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) E. e e. ran I { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ e ) )
16	2, 15	mpd 15	1 |- ( F (Walks ` G ) P -> A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) E. e e. ran I { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ e )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939  ..^cfzo 12465   #chash 13117  iEdgciedg 25875  Walkscwlks 26492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wlks 26495

This theorem is referenced by:  wlkvtxedg  26540  wlkonl1iedg  26561